Topologia di una funzione a gradino
Ho una comunissima funzione a gradino
\( f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{se }x \in (0, 1) \\ 0, & \mbox{se }x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)
\end{cases} \)
ove (0,1) è un aperto. Questa funzione (sperando di averla scritta correttamente) è discontinua in 1 e 0. Io vorrei mostrare, usando la topologia, che è discontinua. Che topologia devo dare all'insieme immagine? Credo di essermi perso in un bicchiere d'acqua
\( f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{se }x \in (0, 1) \\ 0, & \mbox{se }x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)
\end{cases} \)
ove (0,1) è un aperto. Questa funzione (sperando di averla scritta correttamente) è discontinua in 1 e 0. Io vorrei mostrare, usando la topologia, che è discontinua. Che topologia devo dare all'insieme immagine? Credo di essermi perso in un bicchiere d'acqua
Risposte
Tieni presente che il fatto di avere definito una distanza in uno spazio lineare, conferisce ad esso stesso la struttura di Spazio Topologico (con la Topologia indotta dalla metrica).
Possiamo comunque definire una Topologia in $RR$ definendo degli assiomi sugli intorni.
Andando al tuo dubbio, direi che possiamo dire che
$\forall U(f(x_0)) \exists V(x_0) : \forall x \in V(x_0) \Rightarrow f(x) \in U(f(x_0))$
sia una definizione di continuità utilizzando solo la topologia di $RR$, dati gli intorni $U$, $V$. E nel caso della funzione in esame non viene soddisfatta, perché per tutti gli $x$ a sinistra di $x_0$ si ha $f(x)=0$ e per la Proprietà di Separazione di Hausdorff $\forall x, y \in X \exists U(x), U(y) : U(x) \cap U(y) = \emptyset$.
Possiamo comunque definire una Topologia in $RR$ definendo degli assiomi sugli intorni.
Andando al tuo dubbio, direi che possiamo dire che
$\forall U(f(x_0)) \exists V(x_0) : \forall x \in V(x_0) \Rightarrow f(x) \in U(f(x_0))$
sia una definizione di continuità utilizzando solo la topologia di $RR$, dati gli intorni $U$, $V$. E nel caso della funzione in esame non viene soddisfatta, perché per tutti gli $x$ a sinistra di $x_0$ si ha $f(x)=0$ e per la Proprietà di Separazione di Hausdorff $\forall x, y \in X \exists U(x), U(y) : U(x) \cap U(y) = \emptyset$.
Ho capito la tua idea, io l'ho risolto così alla fine:
La mia funzione \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \{0, 1\} \) , ove a \( \mathbb{R} \) ho assegnato la topologia usuale e a \( \{0, 1\} \) ho assegnato la topologia discreta. Così facendo la controimmagine di \( \{0\} \) (che con la topologia discreta è un aperto) dovrei avere un aperto in R, se f fosse continua. Ma se \( f^{-1}(\{0\}) \) è aperto di R, allora il suo complementare è chiuso, ma il suo complementare è l'intervallo aperto tra 0 e 1 che non è chiuso. Allora f non è continua. Può andare?
La mia funzione \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \{0, 1\} \) , ove a \( \mathbb{R} \) ho assegnato la topologia usuale e a \( \{0, 1\} \) ho assegnato la topologia discreta. Così facendo la controimmagine di \( \{0\} \) (che con la topologia discreta è un aperto) dovrei avere un aperto in R, se f fosse continua. Ma se \( f^{-1}(\{0\}) \) è aperto di R, allora il suo complementare è chiuso, ma il suo complementare è l'intervallo aperto tra 0 e 1 che non è chiuso. Allora f non è continua. Può andare?
Scusate, dirò una bestialità, ma quella funzione così definita per me è continua ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Penso di averla scritta male, nella seconda riga, i due intervalli sono chiusi nei punti 0 e 1. Ora provo a correggere dal telefono
Ti sei effettivamente perso in un bicchier d'acqua.
Quando definisci una funzione, i due spazi topologici sono gia' dati, quindi non e' una scelta che dipende dall'interpretazione. In questo caso tu hai una funzione
$f : \RR \to \RR$,
che nel codominio assume solo due valori. Tu gia' sai - con le normali regole dell'analisi - che questa funzione e' discontinua, e vuoi provarlo usando la definizione topologica. Ora, in analisi la topologia usata e' quella euclidea (gli intervalli aperti come base di aperti), e quindi tale rimane se vuoi vedere $\RR$ come spazio topologico.
Un modo facile per vedere che quella funzione e' non continua e' tirare indietro $1$, che e' chiuso. Ricorda che una fuzione continua tira indietro aperti in aperti, e chiusi in chiusi. Cosa e' $f^{-1}(\{ 1\})$ ?
ps: fai caso che la scelta della topologia cambia radicalmente lo studio di una funzione. Ad esempio, se hai una funzione $\varphi : X \to Y$ tra due spazi topologici, allora la funzione e' sempre continua (prova a controllarlo, e' semplice) in almeno due casi: se $X$ ha la topologia discreta, o se $Y$ ha la topologia banale.
Quando definisci una funzione, i due spazi topologici sono gia' dati, quindi non e' una scelta che dipende dall'interpretazione. In questo caso tu hai una funzione
$f : \RR \to \RR$,
che nel codominio assume solo due valori. Tu gia' sai - con le normali regole dell'analisi - che questa funzione e' discontinua, e vuoi provarlo usando la definizione topologica. Ora, in analisi la topologia usata e' quella euclidea (gli intervalli aperti come base di aperti), e quindi tale rimane se vuoi vedere $\RR$ come spazio topologico.
Un modo facile per vedere che quella funzione e' non continua e' tirare indietro $1$, che e' chiuso. Ricorda che una fuzione continua tira indietro aperti in aperti, e chiusi in chiusi. Cosa e' $f^{-1}(\{ 1\})$ ?
ps: fai caso che la scelta della topologia cambia radicalmente lo studio di una funzione. Ad esempio, se hai una funzione $\varphi : X \to Y$ tra due spazi topologici, allora la funzione e' sempre continua (prova a controllarlo, e' semplice) in almeno due casi: se $X$ ha la topologia discreta, o se $Y$ ha la topologia banale.
Sìsì, so che la scelta della topologia cambia la continuità o meno di una funzione. Con una funzione da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\) con topologia usuale la tua spiegazione è pulitissima e semplice. Poi però mi era venuto in mente di generalizzare un po', siccome le funzioni a gradino sono combinazione lineare di funzioni indicatrici ho pensato di concentrarmi su queste. Poi siccome le funzioni indicatrici vanno da un generico insieme X all'insieme \(\{0, 1\}\), ho pensato di concentrarmi su questo caso che mi sembrava abbastanza generale (o comunque più generale del mio problema di partenza). Allora, il mio dominio è \(\mathbb{R}\) con la sua topologia usuale, ma ora il mio codominio è un generico insieme con due elementi 0 e 1. Se metto una topologia discreta (scelta abbastanza naturale) ottengo una funzione discontinua. Se utilizzassi come codominio \(\mathbb{R}\) non avrei particolari dubbi, i singoletti sono chiusi, la controimmagine di 1 invece è un intervallo aperto. Il mio dubbio è questo: se la mia funzione indicatrice da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\) la generalizzo a un codominio più semplice, cioè solo\( \{0, 1\}\) (perché alla fine è questo che fa, manda i miei elementi o in 1 o in 0) e provo a studiarne la continuità, sto studiando un caso totalmente diverso rispetto a quello di partenza? Oppure è un caso più generale in cui far ricadere il mio caso iniziale? E appunto so che cambiando topologia "cambio" la continuità di una funzione, per questo mi sono venuti dei dubbi su come procede, ma penso che cambiando così tanto la funzione io stia studiando tutt'altro.
Prima di risponderti: conosci la nozione di topologia indotta su un sottospazio?
Sì, l'ho utilizzata per i sottoinsiemi di un insieme dotato di topologia, ad esempio.
Ok.
Posso dirti che in questo caso hai ragione, ovvero per studiare la continuita' della funzione puoi ridurti al caso $\{0,1 \}$. Questo e' vero perche' se hai una mappa tra due spazi topologici $f: X \to Y$, allora per verificare la continuita' puoi ridurti a studiare $f : X \to f(X) \subseteq Y$, mettendo su $f(X)$ la topologia indotta da $Y$. Questo si vede facilmente perche' quando controlli le contro-immagini degli aperti $V$ di $Y$, hai facilmente
\begin{equation}
f^{-1}( f(X) \cap V) = f^{-1}(V),
\end{equation}
e gli insiemi del tipo $f(X) \cap V$ sono esattamente gli aperti di $f(X)$ con la topologia indotta.
Ora, per tua fortuna, la topologia indotta da $\RR$ su $\{0,1 \}$ e' proprio quella discreta, quindi quella che definivi una "scelta naturale" era in realta' la scelta giusta non tanto per la naturalita' quanto perche' e' la topologia indotta
Questo ti permette di ritrovareun fatto molto banale: che una funzione indicatrice e' continua se e solo se e' costante. Infatti una funzione $ f : \RR \to \{0,1 \}$ e' continua se e solo se e' costante, e questo si vede subito se hai studiato la connessione. Spero sia chiaro
Posso dirti che in questo caso hai ragione, ovvero per studiare la continuita' della funzione puoi ridurti al caso $\{0,1 \}$. Questo e' vero perche' se hai una mappa tra due spazi topologici $f: X \to Y$, allora per verificare la continuita' puoi ridurti a studiare $f : X \to f(X) \subseteq Y$, mettendo su $f(X)$ la topologia indotta da $Y$. Questo si vede facilmente perche' quando controlli le contro-immagini degli aperti $V$ di $Y$, hai facilmente
\begin{equation}
f^{-1}( f(X) \cap V) = f^{-1}(V),
\end{equation}
e gli insiemi del tipo $f(X) \cap V$ sono esattamente gli aperti di $f(X)$ con la topologia indotta.
Ora, per tua fortuna, la topologia indotta da $\RR$ su $\{0,1 \}$ e' proprio quella discreta, quindi quella che definivi una "scelta naturale" era in realta' la scelta giusta non tanto per la naturalita' quanto perche' e' la topologia indotta
Questo ti permette di ritrovareun fatto molto banale: che una funzione indicatrice e' continua se e solo se e' costante. Infatti una funzione $ f : \RR \to \{0,1 \}$ e' continua se e solo se e' costante, e questo si vede subito se hai studiato la connessione. Spero sia chiaro
Sì sì, tutto chiaro già quando mi avevi domandato se so cos'è una topologia indotta! Ti ringrazio, non ci avevo proprio pensato. Penso di essermi tolto i vari dubbi, sciocchi, che avevo.
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