Topologia della Retta
Ciao a tutti!
Scusate perché forse la richiesta sembrerà un po' banale ma sto studiando la topologia in generale e vado letteralmente in confusione con le definizioni di punti interni, di aderenza e quant'altro (tutte date tramite aperti); ho pensato che un modo per chiarirmi le idee potrebbe essere considerare un ipotetico intervallo sulla retta reale $[a,b)uu{c}$.
Quali sono il suo interno, la sua chiusura, il suo derivato e la sua frontiera?
Un punto è interno ad un intervallo se esiste un aperto che lo contiene tutto contenuto nell'intervallo, quindi $Int([a,b)uu{c})=(a,b)$, poiché il punto $c$ non soddisfa tale proprietà.
Un punto è d'aderenza ad un intervallo se per ogni aperto che lo contiene l'intersezione di tale aperto con l'intervallo non è l'insieme vuoto, quindi $Cl([a,b)uu{c})=[a,b]uu{c}$, anche se sul punto $c$ ho dei dubbi.
Un punto è di accumulazione per un intervallo se per ogni aperto che lo contiene l'intersezione di tale aperto (meno il punto stesso) con l'intervallo non è l'insieme vuoto, quindi $D([a,b)uu{c})=(a,b)$, anche se pure qui persistono dubbi sul punto $c$.
Infine, un punto è di frontiera per un intervallo se non è ne' interno ne' esterno all'intervallo, quindi, essendo un punto esterno se interno al complementare dell'intervallo, $\delta ([a,b)uu{c})={{a}, {b}, {c}}$.
Inoltre, a patto che i punti di accumulazione che ho scritto siano corretti, quali sono isolati e quali non?
Se qualcuno riuscisse a dirmi se ho sbagliato tutto o se c'è qualcosa di giusto, gliene sarei molto grato!
P.S. Se l'intervallo che ho scritto all'inizio non è aperto, potrei aver sbagliato tutto fin dal principio! Speriamo di no!
Scusate perché forse la richiesta sembrerà un po' banale ma sto studiando la topologia in generale e vado letteralmente in confusione con le definizioni di punti interni, di aderenza e quant'altro (tutte date tramite aperti); ho pensato che un modo per chiarirmi le idee potrebbe essere considerare un ipotetico intervallo sulla retta reale $[a,b)uu{c}$.
Quali sono il suo interno, la sua chiusura, il suo derivato e la sua frontiera?
Un punto è interno ad un intervallo se esiste un aperto che lo contiene tutto contenuto nell'intervallo, quindi $Int([a,b)uu{c})=(a,b)$, poiché il punto $c$ non soddisfa tale proprietà.
Un punto è d'aderenza ad un intervallo se per ogni aperto che lo contiene l'intersezione di tale aperto con l'intervallo non è l'insieme vuoto, quindi $Cl([a,b)uu{c})=[a,b]uu{c}$, anche se sul punto $c$ ho dei dubbi.
Un punto è di accumulazione per un intervallo se per ogni aperto che lo contiene l'intersezione di tale aperto (meno il punto stesso) con l'intervallo non è l'insieme vuoto, quindi $D([a,b)uu{c})=(a,b)$, anche se pure qui persistono dubbi sul punto $c$.
Infine, un punto è di frontiera per un intervallo se non è ne' interno ne' esterno all'intervallo, quindi, essendo un punto esterno se interno al complementare dell'intervallo, $\delta ([a,b)uu{c})={{a}, {b}, {c}}$.
Inoltre, a patto che i punti di accumulazione che ho scritto siano corretti, quali sono isolati e quali non?
Se qualcuno riuscisse a dirmi se ho sbagliato tutto o se c'è qualcosa di giusto, gliene sarei molto grato!
P.S. Se l'intervallo che ho scritto all'inizio non è aperto, potrei aver sbagliato tutto fin dal principio! Speriamo di no!
Risposte
Lista degli errori 
1. intervallo sulla retta reale $ [a,b)uu{c} $
Questo sottoinsieme di $RR$ non è un intervallo!!!
2. punti di accumulazione. Non è $ D([a,b)uu{c})=(a,b) $, ma $ D([a,b)uu{c})=[a,b] $ (se ci pensi un attimo, lo vedi)
3. "a patto che i punti di accumulazione che ho scritto siano corretti, quali sono isolati e quali non" nessun punto di accumulazione del tuo insieme è isolato
4. "Se l'intervallo che ho scritto all'inizio non è aperto, potrei aver sbagliato tutto fin dal principio"
L'insieme di cui ti occupi, come detto, NON è un intervallo, e NON è neanche un insieme aperto. Oltretutto, sia detto tra noi: cosa ti interessa che sia aperto per il tipo di problemi che affronti? Idem: cosa ti interessa che sia un intervallo per il tipo di problemi...
Considerazioni "finali":
- io "vedo" questo tipo di cose in questa maniera. Hai uno spazio topologico e un suo sottoinsieme (sottoinsieme qualunque, ovvero che non necessariamente sia topologicamente significativo, ovvero aperto o chiuso). E' ragionevole associare a tale sottoinsieme ALTRI sottoinsiemi che siano topologicamente significativi. Per esempio, si può notare che un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $X$ "spacca" $X$ in tre parti (qualcuna può essere vuota...): l'interno di $A$, l'esterno di $A$ e la frontiera di $A$. I primi due sono aperti, il terzo è (ovviamente, in quanto complementare di un aperto) un chiuso. Poi ci sono i punti di accumulazione, che sono un po' un'altra storia, e che sono importanti per i limiti.
- attenzione agli intervalli. Sapere chi sono gli intervalli di $RR$ è importantissimo. Anche topologicamente (gli intervalli sono tutti e soli i sottoinsiemi connessi di $RR$)
1. intervallo sulla retta reale $ [a,b)uu{c} $
Questo sottoinsieme di $RR$ non è un intervallo!!!
2. punti di accumulazione. Non è $ D([a,b)uu{c})=(a,b) $, ma $ D([a,b)uu{c})=[a,b] $ (se ci pensi un attimo, lo vedi)
3. "a patto che i punti di accumulazione che ho scritto siano corretti, quali sono isolati e quali non" nessun punto di accumulazione del tuo insieme è isolato
4. "Se l'intervallo che ho scritto all'inizio non è aperto, potrei aver sbagliato tutto fin dal principio"
L'insieme di cui ti occupi, come detto, NON è un intervallo, e NON è neanche un insieme aperto. Oltretutto, sia detto tra noi: cosa ti interessa che sia aperto per il tipo di problemi che affronti? Idem: cosa ti interessa che sia un intervallo per il tipo di problemi...
Considerazioni "finali":
- io "vedo" questo tipo di cose in questa maniera. Hai uno spazio topologico e un suo sottoinsieme (sottoinsieme qualunque, ovvero che non necessariamente sia topologicamente significativo, ovvero aperto o chiuso). E' ragionevole associare a tale sottoinsieme ALTRI sottoinsiemi che siano topologicamente significativi. Per esempio, si può notare che un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $X$ "spacca" $X$ in tre parti (qualcuna può essere vuota...): l'interno di $A$, l'esterno di $A$ e la frontiera di $A$. I primi due sono aperti, il terzo è (ovviamente, in quanto complementare di un aperto) un chiuso. Poi ci sono i punti di accumulazione, che sono un po' un'altra storia, e che sono importanti per i limiti.
- attenzione agli intervalli. Sapere chi sono gli intervalli di $RR$ è importantissimo. Anche topologicamente (gli intervalli sono tutti e soli i sottoinsiemi connessi di $RR$)
Grazie mille, sei stato veramente chiarissimo, soprattutto l'ultima postilla!
Mi rimane solo un dubbio: se un punto di un dato sottoinsieme viene detto non isolato quando è di accumulazione per tale sottoinsieme ed un punto isolato, al contrario, quando non è di accumulazione per tale insieme, non dovrebbe essere che ${c}$ è punto isolato?
${c}$ infatti appartiene al sottoinsieme $[a,b[uu{c}$, ma non è punto di accumulazione (essendo il derivato di tale sottoinsieme $\delta([a,b[uu{c})=[a,b]$).
Mi rimane solo un dubbio: se un punto di un dato sottoinsieme viene detto non isolato quando è di accumulazione per tale sottoinsieme ed un punto isolato, al contrario, quando non è di accumulazione per tale insieme, non dovrebbe essere che ${c}$ è punto isolato?
${c}$ infatti appartiene al sottoinsieme $[a,b[uu{c}$, ma non è punto di accumulazione (essendo il derivato di tale sottoinsieme $\delta([a,b[uu{c})=[a,b]$).
Certo, $c$ è isolato. Non è di accumulazione ma sta nella chiusura del (ovvero è un "punto aderente" al) tuo insieme $[a,b) uu {c}$
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