Topologia del piano reale e forme differenziali
salve a tutti! questo è il mio dubbio: ma il piano reale senza il punto (0, 0) è un aperto semplicemente connesso? perché devo verificare l'esattezza di una forma differenziale definita appunto il tutto il piano tranne che in quel punto. ho già verificato che la forma è chiusa: posso dedurre che la forma è esatta? e se la forma fosse definita nel piano privato di una retta? grazie mille a priori a tutti quelli che risolveranno questo dubbio!!
Risposte
Il piano reale senza il punto (0,0) non è semplicemente connesso. Un insieme semplicemente connesso è definito come un insieme in cui ogni curva chiusa è omotopa ad un punto.
In termini intuitivi vuol dire che l'insieme non ha 'buchi', e puoi 'stringere' qualunque curva chiusa fino a farla diventare un punto. Se invece c'è un buco, ad es. in (0,0), e prendi una curva chiusa intorno al buco, non la puoi 'stringere' fino a farla diventare un punto perché c'è il buco in mezzo che blocca.
Invece il piano senza una retta è, spero di non sbagliarmi, semplicemente connesso. Un insieme semplicemente connesso non deve per forza essere connesso, deve essere semplicemente connessa ogni componente connessa.
In termini intuitivi vuol dire che l'insieme non ha 'buchi', e puoi 'stringere' qualunque curva chiusa fino a farla diventare un punto. Se invece c'è un buco, ad es. in (0,0), e prendi una curva chiusa intorno al buco, non la puoi 'stringere' fino a farla diventare un punto perché c'è il buco in mezzo che blocca.
Invece il piano senza una retta è, spero di non sbagliarmi, semplicemente connesso. Un insieme semplicemente connesso non deve per forza essere connesso, deve essere semplicemente connessa ogni componente connessa.
"gabriella127":Attenzione!
...Un insieme semplicemente connesso non deve per forza essere connesso, deve essere semplicemente connessa ogni componente connessa per cammini.
grazie mille! molto più chiaro adesso!
"j18eos":Attenzione![/quote]
[quote="gabriella127"]...Un insieme semplicemente connesso non deve per forza essere connesso, deve essere semplicemente connessa ogni componente connessa per cammini.
@crimay80 Figurati! Grazie a te!
@j18eos Grazie della precisazione. E' qualcosa che mi sfugge, se ti va mi farebbe piacere che me lo spieghi. Conosco la distinzione tra insiemi connessi e connessi per archi, ma in questo caso, con riferimento agli insiemi semplicemente connessi e alle forme differenziali, come stanno le cose? Ad es. un insieme non connessso è semplicemente connessso se lo sono le sue componenti connesse per archi, e basta? Se ci sono componenti connesse ma non per archi non contano?
Gli insiemi connessi ma non connesssi per archi sono in genere degli insiemi abbastanza 'patologici', no?
Scusa la natura naif di queste cosiderazioni.
"gabriella127":Prego, di nulla.
...@j18eos Grazie della precisazione...
"gabriella127":Un topologo algebrico ti prenderebbe a cannonate per questa affermazione.
...Scusa la natura naive di queste cosiderazioni.
Tieni presente che per un qualsiasi spazio topologico \(\displaystyle(S;\mathcal{T})\) tu puoi considerare le componenti connesse (per cammini), mal che vada esse sono i punti[nota]Se tutte le componenti connesse (per archi) sono i punti allora tali spazi si definiscono totalmente disconnessi (per archi).[/nota].
Un esempio facile: \(\displaystyle(\mathbb{Q};\mathcal{T})\) è connesso ma totalmente sconnesso per cammini!
Un esempio di insieme connesso ma non connesso per cammini faciel da studiare è il serpente topologico; è un insieme patologico ma non è difficile da mostrare.
Ti rimando allo sticky Controesempi in Analisi!
"gabriella127":Un topologo algebrico ti prenderebbe a cannonate per questa affermazione.
...Scusa la natura naive di queste cosiderazioni.
Eviterò i topologi algebrici!
Un esempio facile: \(\displaystyle(\mathbb{Q};\mathcal{T})\) è connesso ma totalmente sconnesso per cammini!
Un esempio di insieme connesso ma non connesso per cammini faciel da studiare è il serpente topologico; è un insieme patologico ma non è difficile da mostrare.
Ti rimando allo sticky Controesempi in Analisi!
[/quote]Grazie per le precisazioni, mi guarderò un po' l'argomento e il serpente topologico, bello!
Ti rimando allo sticky Controesempi in Analisi! [/quote]
Scusa l'ignoranza, che sarebbe uno' sticky'? Io ho il libro 'Counterexamples in Analysis', ed esiste anche 'Counterexamples in Topology'.
[/quote]Scusa l'ignoranza, che sarebbe uno' sticky'? Io ho il libro 'Counterexamples in Analysis', ed esiste anche 'Counterexamples in Topology'.
Gli stickyes sono i threads fissati all'inizio di questa stanza del forum; io sto scrivendo come progetto e contributo un post sul seno topologico.
Gli autori del Countereaxmples in Topology sono Steen e Seebach, ma non dimostrano nulla!
Gli autori del Countereaxmples in Topology sono Steen e Seebach, ma non dimostrano nulla!
Ok grazie! Spero di leggere presto il tuo post.
In effetti lo conoscevo, ma non sapevo che si chiamava serpente topologico.
In effetti lo conoscevo, ma non sapevo che si chiamava serpente topologico.
"gabriella127":Scritto!
... Spero di leggere presto il tuo post...
Ricordo che i commenti bisogna inviarli all'autore via messaggi privati.
Ok, certo! Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo