Top: se $A \subseteq l^2(K)$ è aperto...

[Sk_Anonymous]

Siano $K$ il campo reale o complesso ed $A$ un aperto di $l^2(K)$ nella topologia indotta sull'insieme dall'usuale prodotto interno. E' vero allora che esiste necessariamente almeno una successione $\{a_n\}_{n \ge 1} \in A$ tale che $a_1 \ne 0$?

EDIT: corretto un typo.

[Thomas16]

come al solito, what is $l^2(K)$ ???

[Sk_Anonymous]

"Thomas":come al solito, what is $l^2(K)$ ???

$l^2(K)$ := l'insieme di tutte e sole le successioni numeriche a valori in $K$ del tipo ${a_n}_{n \ge 1}$ tali che $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2 < \infty$.

[Thomas16]

ok... ma che relazione ha questa successione con l'aperto A?

[Sk_Anonymous]

In effetti mi accorgo soltanto adesso di aver commesso un errore di battitura nel testo del problema. Adesso è corretto!

[Thomas16]

Quindi io prendo l'aperto, questo conterrà un elemento $x$ di l^2(K). Se $a_1!=0$ sono a posto, se a_1=0, bisogna dimostrare che per ogni intorno di $x$ esiste una successione ivi contenuta con $a_1!=0$, no? ma questo è banale o no? Basta spostare di poco l'elemento per restare nell'aperto indotto dalla topologia prodotto e la successione rimarrà sommabile.... Non capisco

[Sk_Anonymous]

"Thomas":Quindi io prendo l'aperto, questo conterrà un elemento $x$ di l^2(K). Se $a_1!=0$ sono a posto, se a_1=0, bisogna dimostrare che per ogni intorno di $x$ esiste una successione ivi contenuta con $a_1!=0$, no? ma questo è banale o no? Basta spostare di poco l'elemento per restare nell'aperto indotto dalla topologia prodotto e la successione rimarrà sommabile.... Non capisco

Cosa non capisci? Sono problemi scenici! Tanto fumo negli occhi, niente più... Quel che scrivi è corretto, assolutamente!