Tipi di convergenza di serie di funzioni (alcuni chiarimenti)
Salve,
ho trovato questo forum cercando aiuto per risolvere il mio dubbio, tuttavia non ho trovato risposta alla vera e propria domanda. Ho quindi deciso di provare a porvela direttamente.
Ho da poco (ieri) affrontato lo studio delle serie di funzioni e dei tipi di convergenza, definizioni del tutto simili a quelle date per le successioni di funzioni.
Detto ciò mi ritrovo con un dubbio legato alle suddette, in particolare quelle di conv. uniforme e puntuale, il dubbio è il seguente:
trovata una serie convergente uniformemente su un insieme A, allora si ha sicuramente convergenza puntuale su A stesso. Non è vero il contrario (ovviamente).
Tuttavia se io prendessi un singolo punto e valutassi la presenza di una delle due convergenze in tal caso mi pare le due definizioni coincidano, ovvero se trovo convergenza puntuale su B formato da un solo elemento allora avrò anche convergenza uniforme in B
In altre parole la domanda si riduce a: posso parlare di convergenza uniforme su un insieme formato da un solo elemento? E in tal caso ho intuito giusto che le due definizioni su B={x} sono identiche? Cioè parlare di convergenza uniforme in un insieme di un singolo elemento equivale a parlare di convergenza puntuale nell'insieme dato da un singolo elemento e viceversa.
Il mio ragionamento è stato: d'altra parte la convergenza puntuale dice che per ogni x fissato vale la proprietà della definzione sull'epsilon. L'altra dice che per ogni espilon vale la proprietà che la differenza in modulo della "successioni delle somme parziali con la funzione somma è minore di epsilon", questo per ogni x in B. Tuttavia B ha solo un elemento, e posso usare l'epsilon trovato per la convergenza puntuale.
Scusate la domanda stupida.
ho trovato questo forum cercando aiuto per risolvere il mio dubbio, tuttavia non ho trovato risposta alla vera e propria domanda. Ho quindi deciso di provare a porvela direttamente.
Ho da poco (ieri) affrontato lo studio delle serie di funzioni e dei tipi di convergenza, definizioni del tutto simili a quelle date per le successioni di funzioni.
Detto ciò mi ritrovo con un dubbio legato alle suddette, in particolare quelle di conv. uniforme e puntuale, il dubbio è il seguente:
trovata una serie convergente uniformemente su un insieme A, allora si ha sicuramente convergenza puntuale su A stesso. Non è vero il contrario (ovviamente).
Tuttavia se io prendessi un singolo punto e valutassi la presenza di una delle due convergenze in tal caso mi pare le due definizioni coincidano, ovvero se trovo convergenza puntuale su B formato da un solo elemento allora avrò anche convergenza uniforme in B
In altre parole la domanda si riduce a: posso parlare di convergenza uniforme su un insieme formato da un solo elemento? E in tal caso ho intuito giusto che le due definizioni su B={x} sono identiche? Cioè parlare di convergenza uniforme in un insieme di un singolo elemento equivale a parlare di convergenza puntuale nell'insieme dato da un singolo elemento e viceversa.
Il mio ragionamento è stato: d'altra parte la convergenza puntuale dice che per ogni x fissato vale la proprietà della definzione sull'epsilon. L'altra dice che per ogni espilon vale la proprietà che la differenza in modulo della "successioni delle somme parziali con la funzione somma è minore di epsilon", questo per ogni x in B. Tuttavia B ha solo un elemento, e posso usare l'epsilon trovato per la convergenza puntuale.
Scusate la domanda stupida.
Risposte
Sì, ovviamente se il dominio della successione/serie è costituito da un numero finito di elementi, le due nozioni di convergenza coincidono.
A te dimostrarlo (è facile).
Tuttavia, questi sono casi scarsamente interessanti dal punto di vista applicativo.
A te dimostrarlo (è facile).
Tuttavia, questi sono casi scarsamente interessanti dal punto di vista applicativo.
[ot]poi se avessi $f:NN->RR^(emptyset)$, lo stadio esploderebbe 
[/ot]
[/ot]
Prima di tutto grazie per la risposta.
Aspetta perché temo di averti frainteso qui, mi stai dicendo che "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale sui singoli elementi di A (A con qualsiasi numero di elementi), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme su A?"
Non mi torna molto! E credo non saprei dimostrarlo perché mi sembrava di aver capito fosse falso.
O forse mi stavi dicendo che: "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale su A (A insieme con un singolo elemento), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme sul singolo elemento di A?"
In tal caso potrei goffamente provare a dimostrarlo
"gugo82":
Sì, ovviamente se il dominio della successione/serie è costituito da un numero finito di elementi, le due nozioni di convergenza coincidono.
Aspetta perché temo di averti frainteso qui, mi stai dicendo che "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale sui singoli elementi di A (A con qualsiasi numero di elementi), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme su A?"
Non mi torna molto! E credo non saprei dimostrarlo perché mi sembrava di aver capito fosse falso.
O forse mi stavi dicendo che: "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale su A (A insieme con un singolo elemento), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme sul singolo elemento di A?"
In tal caso potrei goffamente provare a dimostrarlo
ma guarda che [convergenza uniforme $=>$ convergenza puntuale] è sempre vero
Caspita ho fatto un errore, in realtà lo so quel che dici ma un lapsus mi ha colpito, volevo dire l'esatto opposto ed ho corretto il precedente post.
Scusami anto_zoolander, ora dovrebbe esser giusto
Scusami anto_zoolander, ora dovrebbe esser giusto
"maisen":
Prima di tutto grazie per la risposta.
[quote="gugo82"]Sì, ovviamente se il dominio della successione/serie è costituito da un numero finito di elementi, le due nozioni di convergenza coincidono.
Aspetta perché temo di averti frainteso qui, mi stai dicendo che "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale sui singoli elementi di A (A con qualsiasi numero di elementi), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme su A?"[/quote]
Non solo lo sto dicendo, ma lo sto affermando in maniera convinta e sto chiedendo a te di dimostrare che ciò è vero.
La dimostrazione è davvero immediata e si fa sfruttando la definizione di convergenza puntuale ed il fatto che ogni insieme finito ha un massimo.
Se ricordi come si dimostra che il limite di una somma di successioni convergenti è la somma dei limiti, il trucco che serve è già usato lì.
Certo volevo solo capire quale delle due affermazioni intendessi 
, grazie. Ci voglio provare.
Ci ho messo un po' a rispondere perché non so usare le formule e ho copiato qua e la per non lasciare un pasticcio illeggibile.
La dimostrazione che so è questa, spero di non ricavarla sbagliata:
Per def. di limite di successione per ogni $\epsilon>0$
*esiste $n_0>0$ tale che per ogni $n>n_0$ $|a_n-a|<\epsilon$
*esiste un altro $n_1>0$ tale che per ogni $n>n_1$ $|b_n-a|<\epsilon$
Prenendo il massimo tra i due n scelti e applicando la disuguaglianza triangolare,
$|a_n+b_n-(a+b)|=|a_n-a+b_n-b|<=|b_n-b|+|a_n-a|<\epsilon+epsilon=2\epsilon$
E per l'arbitrarietà di epsilon mostro che an+bn=a+b per definizione di limite
Il trucco sarebbe qua dentro? Se sì rifletto ancora perché per me non è facile, sono abbastanza tonto.
[EDITO]
Credo di avercapito il suggerimento ma non capisco come formalizzare
Per definizione di convergenza puntuale:
Sia B dominio finito di convergenza incluso in A (dominio su cui sono definite le funzioni -termini generali dellaserie-), con A anche infinito.
fissato $x\inB$ $\epsilon>0$ esiste $n(\epsilon,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon$
fissato $x\inB$ $\epsilon_2>0$ esiste $n(\epsilon_2,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon_2,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_2$
fissato $x\inB$ $\epsilon_n>0$ esiste $n(\epsilon_n,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon_n,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_n$
che saranno in numero finito, quindi a questo punto avrò
$|S_n(x)-S(x)|<\epsilon<=|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_n<=|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_2$ (anche a disposti casualmente, cioènon per forza 1,2,3 in serie ma anche 1,3,2 dipende dal caso)
sprendo il sup di questi, che è automaticamente il massimo, dunque varra per tutti.
Si però che schifo di spiegazione, non so formalizzare
, grazie. Ci voglio provare.Ci ho messo un po' a rispondere perché non so usare le formule e ho copiato qua e la per non lasciare un pasticcio illeggibile.
La dimostrazione che so è questa, spero di non ricavarla sbagliata:
Per def. di limite di successione per ogni $\epsilon>0$
*esiste $n_0>0$ tale che per ogni $n>n_0$ $|a_n-a|<\epsilon$
*esiste un altro $n_1>0$ tale che per ogni $n>n_1$ $|b_n-a|<\epsilon$
Prenendo il massimo tra i due n scelti e applicando la disuguaglianza triangolare,
$|a_n+b_n-(a+b)|=|a_n-a+b_n-b|<=|b_n-b|+|a_n-a|<\epsilon+epsilon=2\epsilon$
E per l'arbitrarietà di epsilon mostro che an+bn=a+b per definizione di limite
Il trucco sarebbe qua dentro? Se sì rifletto ancora perché per me non è facile, sono abbastanza tonto.
[EDITO]
Credo di avercapito il suggerimento ma non capisco come formalizzare
Per definizione di convergenza puntuale:
Sia B dominio finito di convergenza incluso in A (dominio su cui sono definite le funzioni -termini generali dellaserie-), con A anche infinito.
fissato $x\inB$ $\epsilon>0$ esiste $n(\epsilon,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon$
fissato $x\inB$ $\epsilon_2>0$ esiste $n(\epsilon_2,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon_2,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_2$
fissato $x\inB$ $\epsilon_n>0$ esiste $n(\epsilon_n,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon_n,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_n$
che saranno in numero finito, quindi a questo punto avrò
$|S_n(x)-S(x)|<\epsilon<=|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_n<=|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_2$ (anche a disposti casualmente, cioènon per forza 1,2,3 in serie ma anche 1,3,2 dipende dal caso)
sprendo il sup di questi, che è automaticamente il massimo, dunque varra per tutti.
Si però che schifo di spiegazione, non so formalizzare
Qualcuno avrebbe voglia di darmi una mano con l'ultimo post e farmi capire la dimostrazione di cui si parlava.
Lo so che è facile, ma ho proprio bisogno di formalizzarla.
Lo so che è facile, ma ho proprio bisogno di formalizzarla.
Come già hai osservato, se l'insieme $X$ è costituito da $K$ punti, in corrispondenza di ogni $epsilon >0$ esistono al più $K$ indici $nu_(epsilon ,1)$, $nu_(epsilon ,2)$, ..., $nu_(epsilon ,K)$ tali che:
\[
\forall n \geq \nu_{\varepsilon , k},\ |f_n(x_k) - f(x_k)| < \varepsilon
\]
per ogni $k=1,2,\ldots , K$; prendendo $nu_epsilon := max \{ nu_(epsilon ,1),\ldots , nu_(epsilon,K)\}$, le $K$ disuguaglianze scritte sopra valgono contemporaneamente per ogni $n>= nu_epsilon$, sicché:
\[
\forall n \geq \nu_\varepsilon,\ \sup_{x \in X} |f_n - f| =\max_{k=1,\ldots,K} |f_n(x_k)-f(x_k)| < \varepsilon
\]
e la successione converge uniformemente in $X$.
\[
\forall n \geq \nu_{\varepsilon , k},\ |f_n(x_k) - f(x_k)| < \varepsilon
\]
per ogni $k=1,2,\ldots , K$; prendendo $nu_epsilon := max \{ nu_(epsilon ,1),\ldots , nu_(epsilon,K)\}$, le $K$ disuguaglianze scritte sopra valgono contemporaneamente per ogni $n>= nu_epsilon$, sicché:
\[
\forall n \geq \nu_\varepsilon,\ \sup_{x \in X} |f_n - f| =\max_{k=1,\ldots,K} |f_n(x_k)-f(x_k)| < \varepsilon
\]
e la successione converge uniformemente in $X$.
Splendida, grazie per la disponibilità.
Sei gentilissimo, buon we
Sei gentilissimo, buon we
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo