Thm. di Dini (dim. 2), dubbio su dimostrazione
Sia $g$ una funzione di classe $C^1(A)$ (con $A$ aperto) e sia dato un punto $(x_0,y_0)\in A$ tale che:
$g(x_0,y_0)=0$
$g_y(x_0,y_0)\ne0$
allora esistono due intervalli centrati in $x_0$ e $y_0$ rispettivamente, $I=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ e $J=(y_0-\sigma,y_0+\sigma)$, (con $\delta,\sigma>0$) ed una funzione $\phi:I\to J$ tali che:
$y_0=\phi(x_0)$
$g(x,\phi(x))=0, \forall x\in I$
$\phi$ è a sua volta di classe $C^1(I,J)$ e la sua derivata vale
$\phi'(x)=-\frac{g_x(x,\phi(x))}{g_y(x,\phi(x))}, \forall x\in I$
tale funzione è unica.
Dim:
http://i50.tinypic.com/2najhbr.jpg
Il dubbio è il seguente:
Quando dice: "se ora passiamo al limite... il segmento su cui si trova $(a,b)$ si comprime nel punto $(x,\phi(x))$": se $b=\phi(x)+t^*(\phi(x+h)-\phi(x))$ si ha che $b\to\phi(x)$ se $\phi(x+h)\to\phi(x)$ per $h\to0$ cioè quando $\phi$ è continua, ma non stiamo cercando di dimostrare che $\phi$ è continua?
$g(x_0,y_0)=0$
$g_y(x_0,y_0)\ne0$
allora esistono due intervalli centrati in $x_0$ e $y_0$ rispettivamente, $I=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ e $J=(y_0-\sigma,y_0+\sigma)$, (con $\delta,\sigma>0$) ed una funzione $\phi:I\to J$ tali che:
$y_0=\phi(x_0)$
$g(x,\phi(x))=0, \forall x\in I$
$\phi$ è a sua volta di classe $C^1(I,J)$ e la sua derivata vale
$\phi'(x)=-\frac{g_x(x,\phi(x))}{g_y(x,\phi(x))}, \forall x\in I$
tale funzione è unica.
Dim:
http://i50.tinypic.com/2najhbr.jpg
Il dubbio è il seguente:
Quando dice: "se ora passiamo al limite... il segmento su cui si trova $(a,b)$ si comprime nel punto $(x,\phi(x))$": se $b=\phi(x)+t^*(\phi(x+h)-\phi(x))$ si ha che $b\to\phi(x)$ se $\phi(x+h)\to\phi(x)$ per $h\to0$ cioè quando $\phi$ è continua, ma non stiamo cercando di dimostrare che $\phi$ è continua?
Risposte
Mi sembra che tu abbia ragione; bisognerebbe prima osservare che \(\varphi\) è continua. Non è una cosa complicata: fissato \(\sigma > 0\) puoi sempre trovare un \(\delta = \delta(\sigma) > 0\) su cui puoi fare tutta la costruzione descritta, e questo ti dà la continuità nel punto. Può darsi che l'autore, con "se ora passiamo al limite...", intenda proprio una procedura di questo tipo.
Prendendo spunto da altre dim. che ho visto in giro avevo pensato di prendere:
$M=max_{I\times J}|g_x|$ e $m=min_{I\times J}g_y>0$ per quanto supposto all'inizio, allora risulta:
$|g(x+h)-g(x)|\leq\frac{M}{m}|h|$ per $0
Visto che ci sono c'è un'altra cosa che non mi torna. Nel dimostrare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, sempre nel caso bidimensionale, si sfrutta il fatto che se $f,g$ sono funzioni di classe $C^1$ e il punto $(x_0,y_0)$ è estremale per $f$ sul vincolo $Z={(x,y):g(x,y)=b}$ e $\gradg(x_0,y_0)\ne0$ allora per il teorema del Dini è definita una curva regolare $\vec{r}$ parametrizzata da $x(t)\vec{i}+\phi(x(t))\vec{j}$ nell'intorno del punto. Domanda scema: perché $\vec{r}$ è sicuramente regolare in quell'intorno?
$M=max_{I\times J}|g_x|$ e $m=min_{I\times J}g_y>0$ per quanto supposto all'inizio, allora risulta:
$|g(x+h)-g(x)|\leq\frac{M}{m}|h|$ per $0
Visto che ci sono c'è un'altra cosa che non mi torna. Nel dimostrare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, sempre nel caso bidimensionale, si sfrutta il fatto che se $f,g$ sono funzioni di classe $C^1$ e il punto $(x_0,y_0)$ è estremale per $f$ sul vincolo $Z={(x,y):g(x,y)=b}$ e $\gradg(x_0,y_0)\ne0$ allora per il teorema del Dini è definita una curva regolare $\vec{r}$ parametrizzata da $x(t)\vec{i}+\phi(x(t))\vec{j}$ nell'intorno del punto. Domanda scema: perché $\vec{r}$ è sicuramente regolare in quell'intorno?
Se ci pensi un attimo, il grafico di una funzione \(\varphi:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) di classe \(C^1\) è sempre una curva regolare.
Sì in effetti lo diceva con troppa nonchalance, non poteva che essere una cosa scontata 
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
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