Th invarianza della L(curva) per riparametrizzazione

[guybrush1989]

Buonasera, avrei bisogno di una mano per dimostrare questo teorema..
sul libro di fusco-marcellini-sbordone non ho trovato granchè sulla dimostrazione di questo teorema;
praticamente dice che:
data una curva parametrizzata $C:[a;b] R^2$, C di classe C1 in [a;b] la lunghezza della curva $L(C)=int_{a}^{b}(|C'(t)|dt) = int_{c}^{d}(|D'(t)|dt)$, con D riparametrizzazione regolare di C.
Spero possiate aiutarmi.

[j18eos]

Sai cos'è un cambio ammissibile di parametro tra curve (regolari)?

[guybrush1989]

"j18eos":Sai cos'è un cambio ammissibile di parametro tra curve (regolari)?

sìsì, l'ho fatto.. inizialmente non avevo capito cosa fosse, a me la professoressa l'ha chiamata "riparametrizzazione", per l'appunto

data una curva $fi:[a;b]<=R->R^2$, ed una applicazione $h:[c;d]<=R->R^2 biettiva e continua$;
considerata la composizione "fi composto h", che indichiamo con psi, che è un'applicazione:$s€[c;d]->fi(h(s))€R^2$.
psi è una riparametrizzazione di fi attraverso h in [c;d]

poi c'è la riparametrizzazione regolare che simile, con funzione suriettiva di classi C'[c;d], con h'(tau)!=0 V(tau)€[c;d]

[j18eos]

Siano [tex]\underline\phi:[a;b]\rightarrow\mathbb{R}^n[/tex] e [tex]\underline\psi:[c;d]\rightarrow\mathbb{R}^n[/tex] rappresentazioni parametriche di curve di classe [tex]C^k[/tex] con [tex]k\in\mathbb{N}_1\cup\{+\infty;\,\omega\}[/tex], una funzione [tex]\chi:[a;b]\rightarrow[c;d][/tex] si dice cambio ammissibile di parametro da [tex]\underline\phi[/tex] a [tex]\underline\psi[/tex] quando: [tex]\chi\in C^k([a;b];[c;d])[/tex], sia suriettiva e [tex]\forall t\in[a;b],\,\dot\chi(t)\neq0,\,\chi\circ\underline\psi=\underline\phi[/tex].

Te l'ho richiamato!

Ad esempio il segmento di estremi (0;0) e (1;1) è così parametrizzabile [tex]\phi:\forall t\in[0;1]\rightarrow(t;t)\in\mathbb{R}^2[/tex] ma anche [tex]\psi:\forall t\in[0;1]\rightarrow(1-t;1-t)\in\mathbb{R}^2[/tex], il cambio ammissibile di parametro è [tex]\chi:\forall t\in[0;1]\rightarrow 1-t\in[0;1][/tex].

[guybrush1989]

"j18eos":Siano [tex]\underline\phi:[a;b]\rightarrow\mathbb{R}^n[/tex] e [tex]\underline\psi:[c;d]\rightarrow\mathbb{R}^n[/tex] rappresentazioni parametriche di curve di classe [tex]C^k[/tex] con [tex]k\in\mathbb{N}_1\cup\{+\infty;\,\omega\}[/tex], una funzione [tex]\chi:[a;b]\rightarrow[c;d][/tex] si dice cambio ammissibile di parametro da [tex]\phi[/tex] a [tex]\psi[/tex] quando: [tex]\chi\in C^k([a;b];[c;d])[/tex], sia suriettiva e [tex]\forall t\in[a;b],\,\dot\chi(t)\neq0,\,\chi\circ\psi=\phi[/tex].

Te l'ho richiamato!

Ad esempio il segmento di estremi (0;0) e (1;1) è così parametrizzabile [tex]\phi:\forall t\in[0;1]\rightarrow(t;t)\in\mathbb{R}^2[/tex] ma anche [tex]\psi:\forall t\in[0;1]\rightarrow(1-t;1-t)\in\mathbb{R}^2[/tex], il cambio ammissibile di parametro è [tex]\chi:\forall t\in[0;1]\rightarrow 1-t\in[0;1][/tex].

beh sì più o meno ci siamo a livello di definizione

[j18eos]

Ah, con $C^{\omega}$ intendo le funzioni analitiche, cioé: $C^{\infty}$ il cui sviluppo di Taylor converga alla funzione sviluppata.

[guybrush1989]

"j18eos":Ah, con $C^{\omega}$ intendo le funzioni analitiche, cioé: $C^{\infty}$ il cui sviluppo di Taylor converga alla funzione sviluppata.

okok, ho capito..per quanto riguarda il teorema avresti qualche idea?
la dimostrazione fatta dalla professoressa stessa credo abbia diversi errori, principalmente ha confuso alcune lettere con altre

[j18eos]

Senza cambiare simbologia, sia [tex]\Gamma[/tex] il supporto della data curva regolare [tex]\underline\phi[/tex], l'incipit è [tex]l(\Gamma)=\int_a^b|\dot{\underline\phi}|(t)dt[/tex]esprimi [tex]\dot{\underline\phi}[/tex] come derivata di [tex]\chi\circ\underline\psi[/tex] e prosegui!

Questa è la mia idea.