Th : f convessa in I (intervallo) $=>$ f continua nell'interno di I.
Salve ragazzi, ho un dubbio circa tale teorema :
Th:
Sia $f : I -> RR$ , $I$ un intervallo.
Se $f $ convessa in $I$ $=>$ f è continua nell'interno di $I$ , che denoto con $J(I)$
dim :
Sia $x_0 \in J(I)$ , voglio provare che $lim_{x->x_0} f(x) = f(x_0)$ (1)
A tal fine premettiamo il seguente
Lemma
Sia $f : I -> RR$ convessa. E $x_0 \in I$ allora
$F : A \\{x_0} -> RR$ tale che $F(X)= ( f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ è crescente.
Il lemma è di per se facile da provare, pertanto ne trascuro la dimostrazione.
Valuto dunque
$lim_{x->x_0} f(x)-f(x_0) = lim_{x->x_0} F(X) (x-x_0)$.
Per il lemma so di sicuro che $EE lim_{x->x_0} F(x)= l = i$$nf F|_(x>x_0) $ (1)
Il mio professore afferma , che $l \in RR$ e mi trovo in accordo. Tuttavia lo fa senza una giustificazione.
Nel pezzo dimostrativo andrebbe dimostrato ciò, o sbaglio? Magari ragionando per assurdo assumendo per esempio che $l$ non sia reale. (Si negherebbe la monotonia alla fine).
E' così banale la questione o mi sto perdendo qualcosa?
Grazie mille.
Th:
Sia $f : I -> RR$ , $I$ un intervallo.
Se $f $ convessa in $I$ $=>$ f è continua nell'interno di $I$ , che denoto con $J(I)$
dim :
Sia $x_0 \in J(I)$ , voglio provare che $lim_{x->x_0} f(x) = f(x_0)$ (1)
A tal fine premettiamo il seguente
Lemma
Sia $f : I -> RR$ convessa. E $x_0 \in I$ allora
$F : A \\{x_0} -> RR$ tale che $F(X)= ( f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ è crescente.
Il lemma è di per se facile da provare, pertanto ne trascuro la dimostrazione.
Valuto dunque
$lim_{x->x_0} f(x)-f(x_0) = lim_{x->x_0} F(X) (x-x_0)$.
Per il lemma so di sicuro che $EE lim_{x->x_0} F(x)= l = i$$nf F|_(x>x_0) $ (1)
Il mio professore afferma , che $l \in RR$ e mi trovo in accordo. Tuttavia lo fa senza una giustificazione.
Nel pezzo dimostrativo andrebbe dimostrato ciò, o sbaglio? Magari ragionando per assurdo assumendo per esempio che $l$ non sia reale. (Si negherebbe la monotonia alla fine).
E' così banale la questione o mi sto perdendo qualcosa?
Grazie mille.
Risposte
L'unico valore non finito per tale limite sarebbe $l=-\infty$ (visto che è un estremo inferiore). Ti pare che possa accadere questa cosa?
assolutamente no. In effetti la cosa è abbastanza evidente. Detto rozzamente, potrei trovarmi un $x_1$ "molto vicino a destra di $x_0$ e un $x_2$ molto vicino a $x_0$ a sinistra tali che $x_1 f(x_2)$ (contro il fatto che la funzione data è crescente).
Giusto?
(perdona la poco formalità.. ma è per vedere se ho colto sufficientemente l'idea..)
Giusto?
(perdona la poco formalità.. ma è per vedere se ho colto sufficientemente l'idea..)
@Kashaman:
[ot]Corollario: una funzione convessa su un intervallo è Riemann-integrabile XD
[/ot]
[ot]Corollario: una funzione convessa su un intervallo è Riemann-integrabile XD
[/ot]
"Plepp":
@Kashaman:
[ot]Corollario: una funzione convessa su un intervallo è Riemann-integrabile XD
@Peppe
@Kashaman e plepp: se vi interessa, vale anche qualcosina in più. Una funzione convessa $f : I to \RR$ (con I intervallo aperto di $RR$) è anche localmente lipschitziana.
@Paolo: cosa s'intende per localmente lipschitziana? La lipschitzianità con cui abbiamo avuto a che fare fin'ora è una proprietà globale 
Ad intuito, direi che si dice che $f$ è localmente lipschitziana in un punto (?) se è lipschitziana in un intorno del punto in questione. C'ho preso?
EDIT: no, non ch'ho preso XD ho trovato qualcosa nelle appendici del testo che uso
Ad intuito, direi che si dice che $f$ è localmente lipschitziana in un punto (?) se è lipschitziana in un intorno del punto in questione. C'ho preso?
EDIT: no, non ch'ho preso XD ho trovato qualcosa nelle appendici del testo che uso
@ plepp: la lipschitzianità resta sempre una proprietà globale e non puntuale. Una funzione $f: \Omega \subset \RR \to \RR$, con $\Omega$ aperto, è localmente lipschitziana in $\Omega$ se per ogni punto esiste un intorno su cui (la restrizione di) $f$ è lipschitz (in particolare, la costante di lipschitz può variare da punto a punto).
In dimensione finita (i.e. in spazi localmente compatti), si vede facilmente che una funzione è localmente lipschitziana sse è lipschitziana sui compatti (per ogni compatto $K \subset Omega$ esiste una costante $L_K$ tale che bla bla...). In particolare, in questo modo vedi subito che se $f \in C^1(\Omega)$ allora $f$ è localmente lipschitziana. Questo genere di ragionamenti diventeranno abbastanza comuni quando studierai la teoria classica delle ODE e dei problemi di Cauchy (in particolare, il thm. di esistenza e unicità locale).
In dimensione finita (i.e. in spazi localmente compatti), si vede facilmente che una funzione è localmente lipschitziana sse è lipschitziana sui compatti (per ogni compatto $K \subset Omega$ esiste una costante $L_K$ tale che bla bla...
). In particolare, in questo modo vedi subito che se $f \in C^1(\Omega)$ allora $f$ è localmente lipschitziana. Questo genere di ragionamenti diventeranno abbastanza comuni quando studierai la teoria classica delle ODE e dei problemi di Cauchy (in particolare, il thm. di esistenza e unicità locale).
Grazie Paolo per la chicca!
@Paolo: Come sopra
EDIT: Kashaman, dai anche un'occhiata a Primo corso di Analisi matematica, la dimostrazione è più "limpida" Comunque la cosa effettivamente seccante da dimostrare è proprio il Lemma, tsé! 
EDIT: Kashaman, dai anche un'occhiata a Primo corso di Analisi matematica, la dimostrazione è più "limpida"
Comunque la cosa effettivamente seccante da dimostrare è proprio il Lemma, tsé!
"Plepp":
@Paolo: Come sopra
EDIT: Kashaman, dai anche un'occhiata a Primo corso di Analisi matematica, la dimostrazione è più "limpida"
Si un pochino, ma non troppo. E' solo un po calcoloso ma concettualmente è semplice.
Come conferma il caro Acerbi, noto che nel Lemma in realtà si è dimostrata l'equivalenza tra la convessità di $f$ e la monotonia del rapporto incrementale (dei rapporti incrementali relativi ad ogni punto $x_0\in I$ fissato) 
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