Th esistenza unicità locale eq differenziali
salve,
non ho capito bene come si applica il teorema di esistenza e unicità (locale) delle equazioni differenziali, mi potete spiegare un po come fare?
mi viene chiesto di utilizzarlo per dedurne l'esistenza e l'uncita della soluzione di questo probleme
$\{(y'-2y=|2y-t|),(y(0)=-1):}$
mi potete dire come si fa?
inoltre mi vien chiesto un grafico della soluzione per $t>=0$ come dovrei procedere?
grazie in anticipo
non ho capito bene come si applica il teorema di esistenza e unicità (locale) delle equazioni differenziali, mi potete spiegare un po come fare?
mi viene chiesto di utilizzarlo per dedurne l'esistenza e l'uncita della soluzione di questo probleme
$\{(y'-2y=|2y-t|),(y(0)=-1):}$
mi potete dire come si fa?
inoltre mi vien chiesto un grafico della soluzione per $t>=0$ come dovrei procedere?
grazie in anticipo
Risposte
Dovresti semplicemente verificare che il tuo PdC soddisfi le condizioni del teorema di esistenza ed unicità locale. Comincia con l'enunciato.
e come faccio a verificarle?
Quali sono le ipotesi del teorema?
$f$ deve essere contenuto in un aperto $A$ deve essere una funzione continua e di classe $C^1$ rispetto a $y$
Intanto scrivi qual è $f(t,y)$ nel tuo esercizio.
Sia $A sub R × R^n$ un
aperto e sia $f = f (t, y) : A sub R × Rn → Rn$ una funzione continua e di
classe $C^1$ rispetto alla variabile $y$. Se $(t_0, y_0) in A$, allora esiste $δ > 0$ tale che per il problema ai valori iniziali
${(y′ = f (t, y)),(y(t_0) = y_0):}$
esiste una e una unica soluzione definita sull’intervallo $[t_0 − δ, t_0 + δ]$.
aperto e sia $f = f (t, y) : A sub R × Rn → Rn$ una funzione continua e di
classe $C^1$ rispetto alla variabile $y$. Se $(t_0, y_0) in A$, allora esiste $δ > 0$ tale che per il problema ai valori iniziali
${(y′ = f (t, y)),(y(t_0) = y_0):}$
esiste una e una unica soluzione definita sull’intervallo $[t_0 − δ, t_0 + δ]$.
non è: $y'-2y=|2y-t|$ ?
Innanzitutto $f(t,y)=|2y-t|+2y$. E poi l'enunciato del Teorema di Esistenza ed Unicità (locale) richiede che $f(t,y)$ sia continua e lipschitziana rispetto ad $y$ uniformemente in $t$. Ti ricordi la definizione di funzione lipschitziana?
ora come ora no sinceramente no, c'entra qualcosa il fatto che deve essere di classe $C_1$?
Il fatto che $f$ sia di classe $C^1$ è una condizione sufficiente per la lipschitzianità ma non necessaria. Nel tuo caso il valore assoluto dà fastidio e non ti permette di concludere che $f$ sia di classe $C^1$. Quindi devi passare dalla definizione di funzione lipschitziana in $y$ uniformemente in $t$ che è la seguente:
Data $f:RR \times RR \to RR$ se esiste una costante $L > 0$ tale che $\forall y_1, y_2 \in RR$ si ha che $|f(t,y_1)-f(t,y_2)| \leq L|y_1-y_2|$ allora diciamo che $f$ è lipschitziana in $y$ uniformemente in $t$.
A margine ti ricordo che il valore assoluto è una funzione lipschitziana e che la composizione di funzioni lipschitziane e lipschitziana.
Data $f:RR \times RR \to RR$ se esiste una costante $L > 0$ tale che $\forall y_1, y_2 \in RR$ si ha che $|f(t,y_1)-f(t,y_2)| \leq L|y_1-y_2|$ allora diciamo che $f$ è lipschitziana in $y$ uniformemente in $t$.
A margine ti ricordo che il valore assoluto è una funzione lipschitziana e che la composizione di funzioni lipschitziane e lipschitziana.
quindi in questo caso devo controllare se è continua, e poi dato che la funzione assoluto è lipschitziana ho verificato tutte le ipotesi?
in altri casi posso controllare tranquillamente se e di classe $C^1$ e la continunuità?
in altri casi posso controllare tranquillamente se e di classe $C^1$ e la continunuità?
Se la tua funzione è di classe $C^{1}$ sei a posto perchè quella condizione è sufficiente a farti concludere che $f$ è lipschitziana e di conseguenza soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale. Altrimenti devi riuscire a dimostrare che $f$ è lipschitziana attraverso la definizione. Nel caso del tuo esercizio, visto che il valore assoluto è lipschitziano ti resta da verificare che la funzione $f(t,y)=2y$ sia lipschitziana e concludere.
ok grazie mille...
riguardo ai grafici delle equazioni differenziali mi postresti spiegare come procedere?
e anche riguardo ai limiti
riguardo ai grafici delle equazioni differenziali mi postresti spiegare come procedere?
e anche riguardo ai limiti
Dovresti fare uno studio qualitativo del problema di Cauchy. Dovresti quindi verificare la prolungabilità della soluzione (unica) ricavando l'intervallo massimale di definizione,;studiare poi i limiti agli estremi, il segno della derivata per trovare eventuali massimi e minimi e della derivata seconda per la concavità e poi tracciare un grafico qualitativo della soluzione.
grazie mille per tutto 
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