Th. divergenza "non applicabile" (!?)
Ciao. In un vecchio pretest "Vero o falso", si dice che è FALSO che il th. divergenza si possa applicare per calcolare il flusso di un campo vettoriale regolare attraverso la superficie $S={(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,z>=1/2}$. Ma non capisco perché, cos'ha di "sbagliato" questa superficie t. c. non si possa applicare il th. divergenza? Grazie.
Risposte
Chiediti se la superficie \(S\) è la frontiera di un dominio di \(\mathbb{R}^3\)... 
Grazie per la risposta! 
..... Secondo me, quella superficie, per essere frontiera di un dominio in 3 dimensioni, sarebbe dovuta essere così: $S={(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,z=1/2}$. Giusto?
..... Secondo me, quella superficie, per essere frontiera di un dominio in 3 dimensioni, sarebbe dovuta essere così: $S={(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,z=1/2}$. Giusto?
Ma anche no.
Quella che scrivi addirittura non è una superficie, ma una curva (precisamente, una circonferenza di raggio \(1/\sqrt{2}\) con centro in \((0,0,1/2)\) situata nel piano di equazione \(z=1/2\)).
Per far diventare \(S\) la frontiera di un dominio bisogna "tapparla" sotto aggiungendole la superficie:
\[
S^\prime := \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x^2+y^2+z^2\leq 1,\ z=1/2\}\; ;
\]
infatti \(S\cup S^\prime\) è la frontiera della calotta sferica:
\[
D:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x^2+y^2+z^2\leq 1,\ z\geq 1/2\}\; ,
\]
cioé \(\partial D= S\cup S^\prime\).
Quella che scrivi addirittura non è una superficie, ma una curva (precisamente, una circonferenza di raggio \(1/\sqrt{2}\) con centro in \((0,0,1/2)\) situata nel piano di equazione \(z=1/2\)).
Per far diventare \(S\) la frontiera di un dominio bisogna "tapparla" sotto aggiungendole la superficie:
\[
S^\prime := \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x^2+y^2+z^2\leq 1,\ z=1/2\}\; ;
\]
infatti \(S\cup S^\prime\) è la frontiera della calotta sferica:
\[
D:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x^2+y^2+z^2\leq 1,\ z\geq 1/2\}\; ,
\]
cioé \(\partial D= S\cup S^\prime\).
Ah, ora capisco, grazie ancora! 
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