$t=g(x)$ $dt=d[g(x)]=g'(x)dx$ spiegazione teorica

[STE.BA11]

Salve,

qualcuno mi sa indicare un link dove è svolta un speigazione seria della motivazione per cui nella sostituzione negli integrali
$$t=g(x)$$
$$dt=d[g(x)]=g'(x)dx$$

Lo so che è una domanda banale di base ma non ho trovato nessuna spiegazione teorica che mi convincesse a fondo sul perché si le cose stiano così, nonostante abbia ripetuto il passaggio milioni di volte in automatico.

Grazie mille!

[donald_zeka]

Se $t=g(x)$ allora differenziandoli si ha $dt=d(g(x))$, cosa non ti è chiaro?

[Resilienza1]

Viene dalla regola della catena. Una dimostrazione formale da principi primi in inglese la puoi trovare qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution#Proof

Per qualsiasi essere umano che non sia un matematico, ci si può invece limitare ad applicare la regola della catena (per funzioni multivariabile) e a far finta di moltiplicare per dx (a prescindere dal numero di variabili), accettando come postulato che la notazione di Leibniz sia valida e che le derivate siano proprio frazioni di differenziali.
Seguendo il tuo esempio: se $t = g(x) $ e accettando che $t' = (dt)/dx$ si comporti come una normale frazione, possiamo affermare $ t'dx = g'dx = (dt)/dx dx = dt $ perché è come se dx si semplificasse.