[tex]z^{2}|z|^{2}=-81i[/tex]

[koloko]

La traccia dell'esercizio è

Dire per quali valori complessi di z vale
[tex]z^{2}|z|^{2}=-81i[/tex]

di solito procedo assimilando la traccia alla nota formula
[tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex]
ma qui non saprei come procedere vista la presenza del modulo...
Grazie

[walter891]

probabilmente il modo più semplice è usare la forma polare dei numeri complessi

[koloko]

"walter89":probabilmente il modo più semplice è usare la forma polare dei numeri complessi

No, non riesco a dare una forma allo svolgimento tentando di usare la forma polare

[spugna2]

Inizia con il modulo:

$z^2|z|^2=-81i \Rightarrow |(z^2|z|^2)|=|-81i| \Rightarrow |z|^4=81 \Rightarrow |z|=3$.

Da qui sai concludere?

[koloko]

"spugna":Inizia con il modulo:

$z^2|z|^2=-81i \Rightarrow |(z^2|z|^2)|=|-81i| \Rightarrow |z|^4=81 \Rightarrow |z|=3$.

Da qui sai concludere?

Sì
[tex]|z|^{4}=|81i|\Longrightarrow|z|^{4}=81[/tex]
[tex]|z|=\sqrt[4]{81}=3\qquad arg(z)=\frac{\pi}{2}[/tex]
Forma generale
[tex]3(\cos(\frac{0+2k\pi}{4})+i\cdot\sin(\frac{0+2k\pi}{4}))[/tex]

[tex]k=0\qquad3(\cos(0)+i\cdot\sin(0))[/tex]
[tex]k=1\qquad3(\cos(\frac{\pi}{2})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{2}))[/tex]
[tex]k=2\qquad3(\cos(\pi)+i\cdot\sin(\pi))[/tex]
[tex]k=3\qquad3(\cos(\frac{6\pi}{4})+i\cdot\sin(\frac{6\pi}{4}))[/tex]

[orsoulx]

Non proprio. L'equazione che ti ha permesso di ricavare il modulo di $ z $ è di quarto grado, ma ha come incognita un reale non negativo: un'unica soluzione $ |z|=3 $.
Per completare l'esercizio devi tornare all'equazione originale, che si semplifica in $ z^2=-9i $ o, se preferisci, $ (z/3)^2=-i $.
Verificare che le soluzioni trovate soddisfino l'equazione assegnata è una buona norma.
Ciao

[koloko]

"orsoulx":
Per completare l'esercizio devi tornare all'equazione originale, che si semplifica in $ z^2=-9i $

Purtroppo non riesco a seguire il ragionamento per il quale [tex]z^{2}|z|^{2}=-81i[/tex] si semplifica in $ z^2=-9i $

[orsoulx]

Se $ |z|=3 $, quanto vale $ |z|^2 $?
Ciao

[koloko]

"orsoulx":Se $ |z|=3 $, quanto vale $ |z|^2 $?

9

[koloko]

Possiamo riformulare la spiegazione perché non mi ci trovo?
Grazie