[tex]\sqrt{1-\sqrt{3}i}[/tex]
Un esercizio chiede di calcolare
[tex]\sqrt{1-\sqrt{3}i}[/tex]
Non capisco come potrei procedere. Forse tentando di togliere dalla radice [tex]\sqrt{3}[/tex]?
[tex]\sqrt{1-\sqrt{3}i}[/tex]
Non capisco come potrei procedere. Forse tentando di togliere dalla radice [tex]\sqrt{3}[/tex]?
Risposte
No, devi trasformare $1-\sqrt{3} i$ in forma trigonometrica e lì usare una nota formula per le radici $n$-sime dei numeri complessi.
L'esercizio chiede le $n=2$ radici del numero complesso $z = 1 - sqrt(3)i$, con parte reale $a=1$ e parte immaginaria $b=-sqrt(3)$. Per cui il modulo di z vale $r = sqrt(a^2+b^2) = sqrt(1+3) = sqrt(4) = 2$. Quindi otteniamo $cosTheta = a/r = 1/2$ e $sinTheta = b/r = -sqrt(3)/2 => Theta = 5/3pi$
Ora ci conviene scrivere z come $ z = [2; 5/3pi]$ e applicare la formula inversa di De Moivre con cui troviamo le radici $w_k = [r^(1/n); (Theta + 2kpi)/n]$, con $k = 0,1,2,...,n-1$.
Nel nostro caso, dunque, troviamo le $n=2$ radici di z: $w_0$ e $w_1$.
$w_0 = [sqrt(2); (5/3pi)/2] = [sqrt(2); 5/6pi] = sqrt(2)[cos(5/6pi) + isin(5/6pi)] = sqrt(2)[cos(pi-pi/6) + isin(pi-pi/6)] = sqrt(2)[-cos(pi/6)+isin(pi/6)] = sqrt(2)(-sqrt(3)/2+i1/2) = -sqrt(6)/2+sqrt(2)/2i$
$w_1 = [sqrt(2); (5/3pi+2pi)/2] = [sqrt(2); 11/6pi] = sqrt(2)[cos(11/6pi) + isin(11/6pi)] = sqrt(2)[cos(2pi-pi/6) + isin(2pi-pi/6)] = sqrt(2)[cos(pi/6)-isin(pi/6)] = sqrt(2)(sqrt(3)/2-i1/2) = sqrt(6)/2-sqrt(2)/2i$
Ora ci conviene scrivere z come $ z = [2; 5/3pi]$ e applicare la formula inversa di De Moivre con cui troviamo le radici $w_k = [r^(1/n); (Theta + 2kpi)/n]$, con $k = 0,1,2,...,n-1$.
Nel nostro caso, dunque, troviamo le $n=2$ radici di z: $w_0$ e $w_1$.
$w_0 = [sqrt(2); (5/3pi)/2] = [sqrt(2); 5/6pi] = sqrt(2)[cos(5/6pi) + isin(5/6pi)] = sqrt(2)[cos(pi-pi/6) + isin(pi-pi/6)] = sqrt(2)[-cos(pi/6)+isin(pi/6)] = sqrt(2)(-sqrt(3)/2+i1/2) = -sqrt(6)/2+sqrt(2)/2i$
$w_1 = [sqrt(2); (5/3pi+2pi)/2] = [sqrt(2); 11/6pi] = sqrt(2)[cos(11/6pi) + isin(11/6pi)] = sqrt(2)[cos(2pi-pi/6) + isin(2pi-pi/6)] = sqrt(2)[cos(pi/6)-isin(pi/6)] = sqrt(2)(sqrt(3)/2-i1/2) = sqrt(6)/2-sqrt(2)/2i$
Si può fare anche in questo (folle) modo:
Supponiamo che \( \left (1 - \sqrt{3} i \right) = \left (a + b i \right )^2, \quad a,b \in \mathbb{R} \). Allora:
\[ \left (1 - \sqrt{3} i \right) = \left (a^2 - b^2 \right) + (2ab) i \]
Dunque:
\[ \begin{cases} a^2 - b^2 = 1 \\ 2ab = - \sqrt{3} \end{cases} \implies b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \ a = \mp \sqrt{\frac{3}{4 b^2}} = \mp \frac{ \sqrt { 6}}{2} \]
Infine:
\[ \sqrt{1 - \sqrt{3} i } = \pm\left ( \frac{ \sqrt { 6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) \]
Nella risoluzione vengono fuori altre due soluzioni per \(b\) (e quindi anche per \(a \)), ma vanno scartate perchè sono immaginarie pure. Abbiamo chiesto che \(a,b \in \mathbb{R} \). Non sarà il modo migliore per risolvere questo esercizio, ma è un'alternativa.
Supponiamo che \( \left (1 - \sqrt{3} i \right) = \left (a + b i \right )^2, \quad a,b \in \mathbb{R} \). Allora:
\[ \left (1 - \sqrt{3} i \right) = \left (a^2 - b^2 \right) + (2ab) i \]
Dunque:
\[ \begin{cases} a^2 - b^2 = 1 \\ 2ab = - \sqrt{3} \end{cases} \implies b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \ a = \mp \sqrt{\frac{3}{4 b^2}} = \mp \frac{ \sqrt { 6}}{2} \]
Infine:
\[ \sqrt{1 - \sqrt{3} i } = \pm\left ( \frac{ \sqrt { 6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) \]
Nella risoluzione vengono fuori altre due soluzioni per \(b\) (e quindi anche per \(a \)), ma vanno scartate perchè sono immaginarie pure. Abbiamo chiesto che \(a,b \in \mathbb{R} \). Non sarà il modo migliore per risolvere questo esercizio, ma è un'alternativa.
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