[tex]\lim\frac{\left(n^{n+3}-\log\left(n^{16}+n^{27}\right)+3n^{n+1}\right)^{n^{2}}}{n^{n^{3}+3n^{2}}}[/tex]
[size=85][16/02/16][/size]
Salve, volevo sapere se il seguente procedimento è corretto, purtroppo non ho modo di verificarlo con Wolfram Alpha perché si incastra
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{\left(n^{n+3}-\log\left(n^{16}+n^{27}\right)+3n^{n+1}\right)^{n^{2}}}{n^{n^{3}+3n^{2}}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{\ln\left(\left(n^{n+3}-\log\left(n^{16}+n^{27}\right)+3n^{n+1}\right)^{n^{2}}\right)}}{e^{\ln\left(n^{n^{3}+3n^{2}}\right)}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{n^{2}\ln\left(\left(n^{n+3}-\log\left(n^{16}+n^{27}\right)+3n^{n+1}\right)\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=[/tex]
[tex]=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{n^{2}\ln\left(\left(n^{n+3}\left(1+o\left(1\right)\right)\right)\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{n^{2}\left(n+3\right)\ln\left(\left(n\left(1+o\left(1\right)\right)\right)\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=1[/tex]
Grazie
Salve, volevo sapere se il seguente procedimento è corretto, purtroppo non ho modo di verificarlo con Wolfram Alpha perché si incastra
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{\left(n^{n+3}-\log\left(n^{16}+n^{27}\right)+3n^{n+1}\right)^{n^{2}}}{n^{n^{3}+3n^{2}}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{\ln\left(\left(n^{n+3}-\log\left(n^{16}+n^{27}\right)+3n^{n+1}\right)^{n^{2}}\right)}}{e^{\ln\left(n^{n^{3}+3n^{2}}\right)}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{n^{2}\ln\left(\left(n^{n+3}-\log\left(n^{16}+n^{27}\right)+3n^{n+1}\right)\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=[/tex]
[tex]=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{n^{2}\ln\left(\left(n^{n+3}\left(1+o\left(1\right)\right)\right)\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{n^{2}\left(n+3\right)\ln\left(\left(n\left(1+o\left(1\right)\right)\right)\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}{e^{\left(n^{3}+3n^{2}\right)\ln\left(n\right)}}=1[/tex]
Grazie
Risposte
Ciao,
Io ho fatto così (cazziatemi se sbaglio)
[size=150]$(n^(n+3)-log(n^16+n^27)+3n^(n+1))^(n^2)/(n^(n^3+3n^2)) = ((n^(n+3))^(n^2)(1-log(n^16+n^27)/n^(n+3)+3/n^2)^(n^2))/((n^(n+3))^(n^2)) = (1-log(n^16+n^27)/n^(n+3)+3/n^2)^(n^2) $[/size]
che è una forma indeterminata $1^\infty$; continuo:
[size=150]$=(1+(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))/n^2)^(n^2) = (1+(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))/n^2)^(n^2/(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))*(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))$[/size]
ora:
[size=150]$(1+(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))/n^2)^(n^2/(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))) \rightarrow e$[/size] per $n ->\infty$
mentre [size=150]$(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1)) \rightarrow 3$[/size] per $n ->\infty$
pertanto il risultato, se ho fatto bene i calcoli e il caldo non mi ha dato alla testa, dovrebbe essere $e^3$
Ben vengano smentite o conferme.
Io ho fatto così (cazziatemi se sbaglio)
[size=150]$(n^(n+3)-log(n^16+n^27)+3n^(n+1))^(n^2)/(n^(n^3+3n^2)) = ((n^(n+3))^(n^2)(1-log(n^16+n^27)/n^(n+3)+3/n^2)^(n^2))/((n^(n+3))^(n^2)) = (1-log(n^16+n^27)/n^(n+3)+3/n^2)^(n^2) $[/size]
che è una forma indeterminata $1^\infty$; continuo:
[size=150]$=(1+(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))/n^2)^(n^2) = (1+(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))/n^2)^(n^2/(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))*(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))$[/size]
ora:
[size=150]$(1+(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))/n^2)^(n^2/(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1))) \rightarrow e$[/size] per $n ->\infty$
mentre [size=150]$(3-log(n^16+n^27)/n^(n+1)) \rightarrow 3$[/size] per $n ->\infty$
pertanto il risultato, se ho fatto bene i calcoli e il caldo non mi ha dato alla testa, dovrebbe essere $e^3$
Ben vengano smentite o conferme.
@ Ziben: confermo anche io il tuo risultato.
@Caterpillar: un metodo alternativo a quello di Ziben continuando come avevi già iniziato potrebbe essere:
numeratore:
$e^(n^2[log(n)^(n+3)+log(1-(log(n^16 +n^27))/(n^(n+3))+3/n^2)])$
denominatore: come hai fatto
ora si semplificano il denominatore col primo termine e restiamo con: $e^(n^2 log(1-(log(n^16 +n^27))/(n^(n+3))+3/n^2))$
applichi adesso la stima asintotica del logaritmo considerando che prevale il termine $3/n^2$ ed ottieni $e^3$
P.S. che ti si inceppi Wolfram è normale dato che gli fai calcolare il limite per $x->+oo$ quando poi definisci il limite con $n$. per lui il limite fa 1 e ti restituisce l'espressione in $n$
@Caterpillar: un metodo alternativo a quello di Ziben continuando come avevi già iniziato potrebbe essere:
numeratore:
$e^(n^2[log(n)^(n+3)+log(1-(log(n^16 +n^27))/(n^(n+3))+3/n^2)])$
denominatore: come hai fatto
ora si semplificano il denominatore col primo termine e restiamo con: $e^(n^2 log(1-(log(n^16 +n^27))/(n^(n+3))+3/n^2))$
applichi adesso la stima asintotica del logaritmo considerando che prevale il termine $3/n^2$ ed ottieni $e^3$
P.S. che ti si inceppi Wolfram è normale dato che gli fai calcolare il limite per $x->+oo$ quando poi definisci il limite con $n$. per lui il limite fa 1 e ti restituisce l'espressione in $n$
Grazie cooper per la conferma. Molto prezioso
"cooper":
P.S. che ti si inceppi Wolfram è normale dato che gli fai calcolare il limite per $x->+oo$ quando poi definisci il limite con $n$. per lui il limite fa 1 e ti restituisce l'espressione in $n$
Yeah, e pure oggi abbiamo rimediato una figuraccia
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