[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n^{3}-n^{2}+1}{2n^{3}-n^{2}})^{n^{3}}[/tex]
Sto svolgendo il limite
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n^{3}-n^{2}+1}{2n^{3}-n^{2}})^{n^{3}}[/tex]
dopo esser arrivato a questo punto
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n^{3}-n^{2}+1}{2n^{3}-n^{2}})^{n^{3}}=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n^{3}\ln(\frac{2n-n^{2}+1}{2n^{3}-n^{2}})}[/tex]
volevo sapere se c'è la possibilità di svolgerlo senza dover applicare de l'Hopital, in quanto sulle dispense del professore è fortemente sconsigliato, e mi pare strano che abbia messo un esercizio d'esame che obblighi ad utilizzarlo
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n^{3}-n^{2}+1}{2n^{3}-n^{2}})^{n^{3}}[/tex]
dopo esser arrivato a questo punto
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n^{3}-n^{2}+1}{2n^{3}-n^{2}})^{n^{3}}=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n^{3}\ln(\frac{2n-n^{2}+1}{2n^{3}-n^{2}})}[/tex]
volevo sapere se c'è la possibilità di svolgerlo senza dover applicare de l'Hopital, in quanto sulle dispense del professore è fortemente sconsigliato, e mi pare strano che abbia messo un esercizio d'esame che obblighi ad utilizzarlo
Risposte
$ \lim_{n \to \infty} e^{ n^3 \ln{\frac{2n^3-n^2+1}{2n^3-n^2}}} = \lim_{n \to \infty} e^{ n^3 \ln{1+\frac{1}{2n^3-n^2}}} = \lim_{n \to \infty} e^{ \frac{n^3}{2n^3-n^2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} $
Questo limite è una forma del tipo $ 1^{\infty} $.
$$ \lim_{n \to \infty} { \left( \frac{2n^3 -n^2 +1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } = \lim_{n \to \infty} { \left( 1 + \frac{1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } $$
che puoi risolvere applicando limiti notevoli.
$$ \lim_{n \to \infty} { \left( \frac{2n^3 -n^2 +1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } = \lim_{n \to \infty} { \left( 1 + \frac{1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } $$
che puoi risolvere applicando limiti notevoli.
"Ahornach":
Questo limite è una forma del tipo $ 1^{\infty} $.
$$ \lim_{n \to \infty} { \left( \frac{2n^3 -n^2 +1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } = \lim_{n \to \infty} { \left( 1 + \frac{1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } $$
che puoi risolvere applicando limiti notevoli.
Il problema di usare i limiti notevoli è che appena ti cambiano le carte in tavola non sai più come utilizzarli, infatti su tutte le tabelle dei limiti notevoli c'è
[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e[/tex]
che non so come ricondurre al mio caso. Mi trovo molto meglio con il procedimento di Bremen000 che utilizza gli sviluppi di Taylor per il logaritmo
Il fatto è che per prendere la mano con alcuni metodi, con i limiti notevoli o taylor, bisogna fare molta pratica.
Non ti sei accorto che puoi ricondurre questo limite
\[\lim_{n \to \infty} { \left( 1 + \frac{1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } \]
al limite notevole
\( \lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e \)
che tu hai scritto???
Basta manipolare l'esponente
$lim_(n->infty)(1+1/(2n^3-n^2))^(n^3)=lim_(n->infty)(1+1/(2n^3-n^2))^((2n^3-n^2)*(n^3/(2n^3-n^2)))=lim_(n->infty)e^(n^3/(2n^3-n^2))=sqrt(e)$
Cerca di imparare ad usare i limiti notevoli che in molti casi sono utilissimi..
Non ti sei accorto che puoi ricondurre questo limite
\[\lim_{n \to \infty} { \left( 1 + \frac{1}{2n^3 -n^2} \right)^{n^3} } \]
al limite notevole
\( \lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e \)
che tu hai scritto???
Basta manipolare l'esponente
$lim_(n->infty)(1+1/(2n^3-n^2))^(n^3)=lim_(n->infty)(1+1/(2n^3-n^2))^((2n^3-n^2)*(n^3/(2n^3-n^2)))=lim_(n->infty)e^(n^3/(2n^3-n^2))=sqrt(e)$
Cerca di imparare ad usare i limiti notevoli che in molti casi sono utilissimi..
Molto interessante anche quest'altro procedimento, grazie.
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