[tex]\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+3\sin(x)+1}dx[/tex]

[koloko]

Sto svolgendo [tex]\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+3\sin(x)+1}dx[/tex]
Wolfram Alpha da la seguente, e veramente lunga soluzione
https://s23.postimg.org/yi86d01qj/Wolfram_Alpha.jpg
del quale non capisco il passaggio
https://s27.postimg.org/abnz23ocz/Wolfram_Alpha_2.jpg
in maniera particolare, il denominatore.
Per il numeratore invece è chiara la sostituzione:
[tex]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/tex]

[koloko]

[tex]2\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)\cos(x)}{-2\sin(x)^{2}-3\sin(x)+2}dx[/tex]
Ora imposto [tex]u=\sin(x)\Longrightarrow du=\cos(x)dx\Longrightarrow dx=\frac{du}{\cos(x)}[/tex]
Quindi [tex]2\intop_{0}^{1}\frac{u}{-2u^{2}+3u+2}du=2\intop_{0}^{1}\frac{u}{(u-\frac{1}{2})(u+2)}du[/tex]
ora faccio
[tex]\frac{u}{(u-\frac{1}{2})(u+2)}=\frac{A}{(u-\frac{1}{2})}+\frac{B}{(u+2)}\Longrightarrow\frac{u}{(u-\frac{1}{2})(u+2)}=\frac{A(u+2)+B(u-\frac{1}{2})}{(u-\frac{1}{2})(u+2)}=\frac{Au+2A+Bu-\frac{1}{2}B}{(u-\frac{1}{2})(u+2)}=\frac{u(A+B)+(2A-\frac{1}{2}B)}{(u-\frac{1}{2})(u+2)}[/tex]
trovo i coefficienti
[tex]\left\{ \begin{array}{c}
A+B=1\\
2A-\frac{1}{2}B=0
\end{array}\right.\left\{ \begin{array}{c}
A+B=1\\
B=4A
\end{array}\right.\left\{ \begin{array}{c}
A=\frac{1}{5}\\
B=\frac{4}{5}
\end{array}\right.[/tex]

Quindi

[tex]2(\intop_{0}^{1}\frac{1}{5(u-\frac{1}{2})}du+\intop_{0}^{1}\frac{4}{5(u+2)}du)[/tex]
porto le dovute costanti nei differenziali
[tex]2(\intop_{0}^{1}\frac{1}{5(u-\frac{1}{2})}d(u-\frac{1}{2})+\intop_{0}^{1}\frac{4}{5(u+2)}d(u+2))=2(\frac{1}{5}[\ln(u-\frac{1}{2})]_{0}^{1}+\frac{4}{5}[\ln(u+2)]_{0}^{1})=\frac{2}{5}[\ln(\frac{1}{2})-\ln(-\frac{1}{2})]+\frac{8}{5}[\ln(3)-\ln(2)][/tex]
Solo che [tex]\ln(-\frac{1}{2})[/tex] dentro gli ultimi passaggi è un palese errore. Eppure non riesco a capire dove io abbia sbagliato...
Come potete vedere nel primo post, Wolfram Alpha prende un'altra strada, ma a mio avviso questa è molto più semplice.
Grazie

[koloko]

Ottimo, ho capito che i miei errori sono stati:

[*:2q5a417i]il segno di [tex]3\sin(x)[/tex] che anziché essere negativo come nella formula
[tex]2\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)\cos(x)}{-2\sin(x)^{2}-3\sin(x)+2}dx[/tex]
deve essere positivo[/*:m:2q5a417i]
[*:2q5a417i]il non aver messo il modulo nell'argomento dei logaritmi[/*:m:2q5a417i][/list:u:2q5a417i]