[tex]\int_0^1 \left(\frac{x^e-1}{\log x}\right)^2dx = \,?[/tex]

[solaàl]

L'integrale
\[
\int_0^1 \left(\frac{x^e-1}{\log x}\right)^2 dx
\] dove \(e\) è il solito numero che conosciamo tutti, esiste ed è calcolabile con metodi elementari. Quanto fa?

[pilloeffe]

Ciao solaàl,

"solaàl":[...] esiste ed è calcolabile con metodi elementari. Quanto fa?

A me risulta

$ \int_0^1 (\frac{x^e-1}{\log x})^2 \text{d}x = (1 + 2 e) log(1 + 2 e) - 2 (1 + e) log(1 + e) $

Ad onor del vero però il metodo non mi è parso proprio così elementare...

Posto $I(a) := \int_0^1 ((x^a-1)/(log x))^2 \text{d}x $

con $a >= 0 $, l'integrale proposto è $I(e) $ ed ovviamente si ha $I(0) = 0 $.
Derivando rispetto ad $a$ si ha:

$ I'(a) = \int_0^1 2 (x^a-1)/(log x) (\del)/(\del a) [((x^a-1)/(log x))] \text{d}x = 2 \int_0^1 (x^a-1)/(log x) x^a \text{d}x $

Da qui incidentalmente osserviamo che risulta anche $I'(0) = 0 $
Derivando nuovamente rispetto ad $a$ si ha:

$I''(a) = 2 \int_0^1 (2 x^(2a) - x^a) \text{d}x = 2 [x^(a + 1) ((2 x^a)/(2a + 1) - 1/(a + 1))]_0^1 = 2 (2/(2a + 1) - 1/(a + 1)) $

Integrando rispetto ad $a $ si ha:

$ I'(a) = 2 log(1 + 2 a) - 2 log(1 + a) + c_1 $

Dato che $ I'(0) = 0 \implies c_1 = 0 $
Integrando nuovamente rispetto ad $a $ si ha:

$ I(a) = (1 + 2 a) log(1 + 2 a) - 2 (1 + a) log(1 + a) + c_2 $

Dato che $ I(0) = 0 \implies c_2 = 0 $
Quindi in definitiva si ha:

$ I(a) = (1 + 2 a) log(1 + 2 a) - 2 (1 + a) log(1 + a) $

Nel caso particolare $a = e $ si ottiene:

$ I(e) = \int_0^1 ((x^e-1)/(log x))^2 \text{d}x = (1 + 2 e) log(1 + 2 e) - 2 (1 + e) log(1 + e) $

[solaàl]

E' esattamente quel che significa "elementare" invece!