[tex]g(x)=\intop_{1}^{x}\log(1+\frac{1}{t^{2}})dt[/tex]

[koloko]

Ho eseguito il seguente esercizio:
determinare la funzione g(x) e calcolare il limite [tex]\lim_{x\rightarrow0^{+}}[/tex], dove g(x) è definita da:
[tex]g(x)=\intop_{1}^{x}\log(1+\frac{1}{t^{2}})dt[/tex]

e volevo sapere se ho fatto tutto correttamente. Grazie!

[tex]\intop_{1}^{x}\log(1+\frac{1}{t^{2}})dt=[t\log(1+\frac{1}{t^{2}})]_{1}^{x}-\intop_{1}^{x}td(\log(1+\frac{1}{t^{2}}))=[t\log(1+\frac{1}{t^{2}})]_{1}^{x}+\intop_{1}^{x}\frac{2t}{t^{3}+t}dt=[t\log(1+\frac{1}{t^{2}})]_{1}^{x}+\intop_{1}^{x}\frac{2}{t^{2}+1}dt=[t\log(1+\frac{1}{t^{2}})]_{1}^{x}+2[\arctan(t)]_{1}^{x}=[x\log(1+\frac{1}{x^{2}})-\log(2)]+2[\arctan(x)-\arctan(1)][/tex]

Infine

[tex]\lim_{x\rightarrow0^{+}}[x\log(1+\frac{1}{x^{2}})-\log(2)]+2[\arctan(x)-\arctan(1)]=-\log(2)-2\arctan(2)[/tex]

[cooper1]

il procedimento è corretto solo due sviste:
1. nell'ultimo passaggio (nella soluzione proprio) $arctan (1)$ è diventato $arctan(2)$
2. $arctan(1)=pi/4$

[koloko]

Grazie mille, purtroppo non tutti i docenti forniscono le soluzioni ai loro eserciziari, quindi quelle volte che il computer non è di aiuto, sono costretto a chiedere anche se la procedura mi è abbastanza chiara

[cooper1]

sono anche io dell'opinione che un controllo sia sempre meglio!

[koloko]

Ripassando l'esercizio, mi sono accorto di aver eseguito il limite con troppa faciloneria
[tex]\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}x\cdot\log\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}x\cdot\left(\log\left(1\right)+\log\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}x\cdot\left(\log\left(1\right)-\log\left(x^{2}\right)\right)=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}-x\cdot\log\left(x^{2}\right)[/tex]
Come potrei procedere? Il docente nelle sue dispense consiglia sempre di evitare di utilizzare il metodo di de l'Hopital, quindi vorrei provar in altre maniere

[cooper1]

$ lim_(x→0^+) x⋅log(1+1/x^2)=0 $ perchè la x prevale sul logaritmo. il passaggio in cui sdoppi il logaritmo è sbagliato. il logaritmo diventa la somma di due logaritmi quando il suo argomento è un prodotto (non una somma).
ma dove avresti applicato de l'Hopital scusa?

[koloko]

"cooper":$ lim_(x→0^+) x⋅log(1+1/x^2)=0 $ perchè la x prevale sul logaritmo.

Come posso dimostrare questa cosa, avendo una forma del tipo [tex]0\cdot\infty[/tex]?

"cooper":$ lim_(x→0^+) x⋅log(1+1/x^2)=0 $ perchè la x prevale sul logaritmo. il passaggio in cui sdoppi il logaritmo è sbagliato. il logaritmo diventa la somma di due logaritmi quando il suo argomento è un prodotto (non una somma).

Scusatemi, a forza di far calcoli mi son distratto, ho fatto questo errore e l'ho addirittura ricopiato senza accorgemente

"cooper":ma dove avresti applicato de l'Hopital scusa?

[tex]\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}x\cdot\log\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{\log\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{\frac{1}{x}}[/tex]
applico de l'Hopital
[tex]\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{\frac{1}{\left(-x^{2}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{\left(-x^{2}\right)}{\left(-x^{2}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{x}{x+1}=0[/tex]

[cooper1]

ah ok adesso lo hai applicato..
per quanto riguarda

"Caterpillar":Come posso dimostrare questa cosa, avendo una forma del tipo 0⋅∞?

è una questione di gerarchia. le potenze della x prevalgono sui logaritmi.