[tex]arg(z)[/tex] "differenti"

[koloko]

Il libro "Edizioni Tecnos 10 numeri complessi", a pagina 19 porta l'esempio:

[tex]z=1-j[/tex]

1) si calcola il modulo [tex]\rho=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}[/tex]


2) si mette in evidenza [tex]\sqrt{2}[/tex] al 2° membro di [tex]z:[/tex] [tex]z=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}j)[/tex]

3) si risolve il sistema [tex]\begin{cases}
\begin{array}{c}
\cos(\varTheta)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\sin(\varTheta)=-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\end{cases}[/tex]
L'arco (o angolo) che soddisfa il sistema è: [tex]\varTheta=\frac{7}{4}\pi[/tex]

Io procedo nel seguente modo
[tex]z=1-j[/tex]
Quindi [tex]|z|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}[/tex]

Per quanto riguarda [tex]arg(z)[/tex] ho notato che alcuni libri lo ricavano con [tex]\arccos[/tex] mentre altri con [tex]\arctan[/tex]. Così ho deciso di provare entrambi i metodi. Il problema è che nessuno di essi mi da il risultato [tex]\varTheta=\frac{7}{4}\pi[/tex]

Primo metodo
[tex]\begin{cases}
\begin{array}{c}
Re(z)=|z|\cdot\cos(\Theta)\\
Im(z)=|z|\cdot\sin(\Theta)
\end{array}\end{cases}[/tex]

allora ricavo [tex]\Theta[/tex] dalla prima: [tex]\Theta=\arccos(\frac{Re(z)}{|z|})=\arccos(\frac{1}{\sqrt{2}})\Longrightarrow\Theta=\frac{\pi}{4}[/tex]

Secondo metodo
invece utilizzando la formula [tex]\begin{cases}
\begin{array}{c}
\arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})\quad se\;Im(z)\geq0\\
\arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})+\pi\quad se\;Im(z)<0
\end{array}\end{cases}[/tex]

[tex]\arctan(\frac{1}{-1})+\pi=\frac{3}{4}\pi[/tex]

[Bremen000]

Gli errori sono:

$\cos(\theta)= \alpha \Rightarrow \theta = \pm \arccos(\alpha) + 2k\pi$

$\arctan(-1)= -\pi/4$

[axpgn]

Dato che, in generale, le funzioni inverse trigonometriche ti "restituiscono" due angoli, usa quella che ti pare (va bene anche l'arcoseno ...) poi basta osservare in quale quadrante si trova il numero complesso ... in questo caso reale->pos e immaginario->neg e quindi IV quadrante da cui $7/4pi$ o $-pi/4$ ...

[koloko]

Vi ringrazio entrambi, con i vostri suggerimenti sono potuto andar a cercare meglio su altri libri e dispense e capire dove avevo sbagliato: ecco le formule che avrei dovuto utilizzare:
[tex]\theta=\begin{cases}
\begin{array}{c}
\arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})\quad se\;Re(z)\geq0\\
\arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})+\pi\quad se\;Re(z)<0
\end{array}\end{cases}[/tex]
oppure
[tex]\theta=\begin{cases}
\begin{array}{c}
\arccos(\frac{Re(z)}{|z|})\quad se\;Im(z)\geq0\\
-\arccos(\frac{Re(z)}{|z|})\quad se\;Im(z)<0
\end{array}\end{cases}[/tex]

[axpgn]

Mi piacerebbe capire perché l'arcoseno non è simpatico ...

[pilloeffe]

E' vero!!! Ma anche l'arcocoseno non scherza: personalmente ho quasi sempre usato l'arcotangente...
In ordine "di simpatia":
1) $\arctan$
2) $\arccos$
3) $\arcsin$