Test pari e dispari

[pap11]

Siano f(x) e g(x) due funzioni dispari e invertibili. Allora la funzione:

cos f(x) + sin ( f (x) g (x) )

è

(a) pari e invertibile
(b) pari e non invertibile
(c) dispari e non invertibile
(d) ne dispari ne pari
(e) dispari e invertibile

non riesco a risolverla avete qualche idea? magari motivandola...

[gugo82]

Prova ad esporre le tue, di idee...

[onlyReferee]

Chiamiamo per semplicità $h(x)$ la tua funzione: $h(x) = \cos(f(x)) + \sin (f(x) \cdot g(x))$. Ora procediamo con ordine:

[*:3ow7a6zi]Parità/disparità
Vediamo se $h(x)$ è pari o meno, ossia verifichiamo se $h(x) = h(-x)$ sfruttando il fatto che $f(x)$ e $h(x)$ sono dispari per ipotesi.
$h(-x) = \cos(f(-x)) + \sin (f(-x) \cdot g(-x)) = \cos(-f(x)) + \sin (-f(x) \cdot (-g(x))) = \cos(f(x)) + \sin (f(x) \cdot g(x)) = h(x)$
Pertanto $h(x)$ è pari;[/*:m:3ow7a6zi]
[*:3ow7a6zi]Invertibilità
$h(x)$ è invertibile solo se è biiettiva, ossia sia iniettiva che suriettiva. Volendo iniziare dall'iniettività, mediante un semplice controesempio possiamo mostrare che $h(x)$ non è iniettiva.
Scegliamo (in maniera del tutto arbitraria): $f(x_1) = 0$, $g(x_1) = \frac{\pi}{2}$, $f(x_2) = 2\pi$, $g(x_2) = 0$. Poiché sia $f(x)$ che $g(x)$ sono invertibili e pertanto anche iniettive si ha che $f(x_1) = f(x_2) \rightarrow x_1 = x_2$ e $g(x_1) = g(x_2) \rightarrow x_1 = x_2$. Vediamo ora se questo vale anche per $h(x_1)$ e $h(x_2)$:


[*:3ow7a6zi]$h(x_1) = \cos(0) + \sin(0 \cdot \frac{\pi}{2}) = 1$;[/*:m:3ow7a6zi]
[*:3ow7a6zi]$h(x_2) = \cos(2\pi) + \sin(2\pi \cdot 0) = 1$.[/*:m:3ow7a6zi][/list:u:3ow7a6zi]
In questo caso si ha che $h(x_1) = h(x_2) \rightarrow x_1 = x_2$ è falsa (abbiamo difatti che VERO implica FALSO e pertanto otteniamo FALSO, poiché sappiamo già che $x_1 \ne \x2$ per ipotesi, essendo $f(x_1) \ne f(x_2)$ e $g(x_1) \ne g(x_2)$).
La nostra funzione non è iniettiva e dunque nemmeno biiettiva e quindi non invertibile.[/*:m:3ow7a6zi][/list:u:3ow7a6zi]
Concludendo abbiamo che $h(x)$ è pari e non invertibile. La risposta esatta è pertanto la b. Spero di esserti stato d'aiuto. Persuaso?

[gio73]

"onlyReferee":Spero di esserti stato d'aiuto. Persuaso?

Per essere effettivamente d'aiuto all'open poster è necessario attendere i suoi tentativi, solo provando e talvolta sbagliando si può effettivamente migliorare. Il thread potrebbe diventare lungo e noioso da leggere da parte di futuri utenti che cercano esercizi svolti, però lo scopo non credo sia di creare raccolte di esempi e esercizi svolti piuttosto di sviluppare una comunicazione in cui entrambi gli interlocutori (chi ha i dubbi e chi aiuta a superarli) siano attivi. Persuaso?

[onlyReferee]

"gio73":[quote="onlyReferee"]Spero di esserti stato d'aiuto. Persuaso?

Per essere effettivamente d'aiuto all'open poster è necessario attendere i suoi tentativi, solo provando e talvolta sbagliando si può effettivamente migliorare. Il thread potrebbe diventare lungo e noioso da leggere da parte di futuri utenti che cercano esercizi svolti, però lo scopo non credo sia di creare raccolte di esempi e esercizi svolti piuttosto di sviluppare una comunicazione in cui entrambi gli interlocutori (chi ha i dubbi e chi aiuta a superarli) siano attivi. Persuaso?[/quote]
Persuaso... Cercherò di "guidare" l'utente verso la soluzione le prossime volte.