Terminologia: derivabilità e differenziabilità
Come usate questi due termini?
So che c'è confusione perchè la prima prof di teoria li usa in modo opposto rispetto a come li usa il prof di esercizi...
Lei usa "derivabilità" se esiste finito il limite del rapporto incrementale (semplice), che ha a che fare con le derivate parziali, jacobiane e gradiente. "differenziale" ha invece a che fare con la derivata di Frechet (il rapporto incrementale con la matrice).
So che c'è confusione perchè la prima prof di teoria li usa in modo opposto rispetto a come li usa il prof di esercizi...
Lei usa "derivabilità" se esiste finito il limite del rapporto incrementale (semplice), che ha a che fare con le derivate parziali, jacobiane e gradiente. "differenziale" ha invece a che fare con la derivata di Frechet (il rapporto incrementale con la matrice).
Risposte
Il concetto di differenziale di Frechét se lo giri in una variabile diventa esattamente il concetto di derivabilità. Una funzione in una variabile è derivabile se e solo se è differenziabile secondo Frechét.
si, ma il dubbio è in $RR^n$...
Derivabilità in $x_0$: esistenza delle derivate (im)parziali in $x_0$;
Differenziabilità in $x_0$: esistenza di un'applicazione lineare $L_(x_0)(\cdot )$ tale che $lim_(x\to x_0)(f(x)-f(x_0)-L_(x_0)(x-x_0))/(|x-x_0|)=0$.
Differenziabilità in $x_0$: esistenza di un'applicazione lineare $L_(x_0)(\cdot )$ tale che $lim_(x\to x_0)(f(x)-f(x_0)-L_(x_0)(x-x_0))/(|x-x_0|)=0$.
Che cos'è il rapporto incrementale con la matrice?
Burlando e Bottaro?
"Fioravante Patrone":
Burlando e Bottaro?
Un po' criptico !!!
?? http://www.ilgiornale.it/a.pic1?ID=188792 ??
Beh, nato_pigro mi capirà 
Bottaro è molto disponibile, quindi non vedo problemi a chiedere direttamente a lui spiegazioni.
PS: non avevo fatto caso al link. No, sono persone diverse:
http://www.dima.unige.it/didattica/mate ... 5#analisi1
Bottaro è molto disponibile, quindi non vedo problemi a chiedere direttamente a lui spiegazioni.
PS: non avevo fatto caso al link. No, sono persone diverse:
http://www.dima.unige.it/didattica/mate ... 5#analisi1
"Fioravante Patrone":
Burlando e Bottaro?
esattamente. No, il fatto è che la discussione al livello "per capirci" mi è chiara, volevo solo sapere come vengono comunemente usati questi due tarmini in un contesto più "internazionale"...
1.
Derivabilità vuol dire che esiste (finito) il limite di un opportuno rapporto incrementale.
2.
Differenziabilità vuol dire che l'incremento della funzione può essere ben approssimato, localmente, da una funzione lineare.
"Ovviamente" stiamo parlando di funzioni definite su uno spazio vettoriale $V$ e a valori reali. E si parla di derivabilità o differenziabilità in un punto, che potremmo chiamare $x_0$.
Per il punto 1, tipicamente il rapporto incrementale per poter essere fatto richiede che il denominatore sia un numero reale (visto che lo è il numeratore) e quindi che gli spostamenti avvengono su un "oggetto unidimensionale". Tipicamente su una retta o semiretta passante per il punto che interessa, ovvero $x_0$.
Visto che si sta facendo, per quanto detto, un limite di una funzione reale di variabile reale, non si hanno particolari problemi di natura topologica.
Per il punto 2, normalmente alle variazioni della "x" si lascia ampia libertà, ovvero $x$ è un elemento qualsiasi di $V$. Il "ben approssimato" tipicamente vuol dire che gli errori commessi nell'approssimazione sono infinitesimi di ordine superiore rispetto all'incremento. Il tutto vale "localmente", ovvero siamo interessati al comportamento degli incrementi della $f$ e della sua approssimazione lineare quando $x$ tende a $x_0$. Essendoci libertà di movimento occorre specificare la topologia che si sta considerando su $V$ (in dimensione finita non c'è problema: l'unica topologia che interessa è quella euclidea). In dimensione infinita si richiede, tipicamente, che l'approssimazione lineare sia continua (se $V$ ha dimensione infinita ci sono applicazioni lineari che non sono continue).
Derivabilità vuol dire che esiste (finito) il limite di un opportuno rapporto incrementale.
2.
Differenziabilità vuol dire che l'incremento della funzione può essere ben approssimato, localmente, da una funzione lineare.
"Ovviamente" stiamo parlando di funzioni definite su uno spazio vettoriale $V$ e a valori reali. E si parla di derivabilità o differenziabilità in un punto, che potremmo chiamare $x_0$.
Per il punto 1, tipicamente il rapporto incrementale per poter essere fatto richiede che il denominatore sia un numero reale (visto che lo è il numeratore) e quindi che gli spostamenti avvengono su un "oggetto unidimensionale". Tipicamente su una retta o semiretta passante per il punto che interessa, ovvero $x_0$.
Visto che si sta facendo, per quanto detto, un limite di una funzione reale di variabile reale, non si hanno particolari problemi di natura topologica.
Per il punto 2, normalmente alle variazioni della "x" si lascia ampia libertà, ovvero $x$ è un elemento qualsiasi di $V$. Il "ben approssimato" tipicamente vuol dire che gli errori commessi nell'approssimazione sono infinitesimi di ordine superiore rispetto all'incremento. Il tutto vale "localmente", ovvero siamo interessati al comportamento degli incrementi della $f$ e della sua approssimazione lineare quando $x$ tende a $x_0$. Essendoci libertà di movimento occorre specificare la topologia che si sta considerando su $V$ (in dimensione finita non c'è problema: l'unica topologia che interessa è quella euclidea). In dimensione infinita si richiede, tipicamente, che l'approssimazione lineare sia continua (se $V$ ha dimensione infinita ci sono applicazioni lineari che non sono continue).
Di spazi topologici so poco e niente, ma per quanto possa aver capito intuitivamente ho capito.
Allora alla fine è come dice la prof di teoria.
Allora alla fine è come dice la prof di teoria.
Bisogna fidarsi forse un po' di più dei professori, alcuni è vero che a volte dicono sciocchezze ma in massima parte no.
"Luca.Lussardi":
Bisogna fidarsi forse un po' di più dei professori, alcuni è vero che a volte dicono sciocchezze ma in massima parte no.
no, ma allora non mi sono spiegato: un mio prof intende quei due termini con un certo significato, un altro prof l'esatto opposto. Ora, è solo una questione di terminologia, i concetti li applicano entrambi allo stesso modo, e tra di noi (i deu prof e studenti) ci siamo chiariti, io volevo solo sapere chi dei deu avesse "ragione".
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