Termini di bordo con funzioni a supporto compatto

[Euphurio]

Salve....leggendo Partial Differential Equations di Evans mi sono imbattuto in questo integrale:
[tex]0=\int_U (Du\cdot Dv -vf)\, dx=\int_U(-\Delta u-f)v\,dx[/tex]
ove [tex]U\subset R^n[/tex] è un aperto e [tex]\partial U[/tex] è di classe [tex]C^1[/tex].

Si ottiene, in particolare, nella dimostrazione del principio di Dirichlet che permette di risolvere il problema
[tex]\begin{cases}
-\Delta u=f & \text{in $U$} \\
u=g & \text{su $\partial U$}
\end{cases}[/tex]
risolvendo un problema variazionale ossia ricercando la funzione [tex]u\in C^2(\overline U)[/tex] tale che [tex]I=\min_{w\in A} I[w][/tex] con [tex]A[/tex] insieme delle funzioni ammissibili, ossia [tex]A=\{w\in C^2(\overline U): w=g\, \text{su $\partial U$}\}[/tex].

Dopo aver introdotto il problema passo ad esporre il mio dubbio. Si suppone che sia verificata la relazione [tex]I=\min_{w\in A} I[w][/tex] e si fissa in maniera arbitraria [tex]v\in C^{\infty}_C(U)[/tex]. Usando una formula di Green ottengo
[tex]0=\int_U (Du\cdot Dv -vf)\, dx=\int_U(-\Delta u-f)v\,dx + \int_{\partial U} v \frac{\partial u}{\partial \nu}\,dS[/tex].
Non capisco come si annulli il termine al bordo.

L'idea è che valga un analogo risultato al caso reale dove nell'eseguire l'integrazione per parti tra una funzione a supporto compatto e una funzione assolutamente continua, i termini di bordo si annullano. In ogni caso dovrebbe valere a causa del fatto che [tex]v\in C^{\infty}_C(U)[/tex]. Mi dareste una mano?

[Rigel1]

Forse ho letto male io la domanda, perché da quanto capisco ti sei già dato la risposta:
se $v\in C^{\infty}_c(U)$, allora $v$ (e tutte le sue derivate parziali di qualsiasi ordine) si annullano su $\partial U$; più precisamente, tutte queste quantità si annullano fuori dal supporto (compatto) di $v$.

[Euphurio]

Mi sa che avevo preso una grande e grossa cantonata...meglio chiudere i libri per oggi. Grazie Rigel!