Termine ennesimo di una successione
Ciao a tutti, ho qualche difficoltà a capire come impostare il seguente esercizio:
"Calcolare il termine ennesimo nella successione definita da
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
a_0=1\\
a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}
\end{matrix}\right. \)
"
Dunque, sono "abituato" a calcolare il termine ennesimo di una successione avendo a disposizione 3 termini, ponendo il termine $a_n = r^n$, e ottenendo così un'equazione (quadratica solitamente). Chiamando $r_1,r_2$ tali radici, il termine ennesimo della successione sarà nella forma $a_n = A(r_1)^n + B(r_2)^n$. Impostando poi un sistema con i termini $a_0,a_1$, ottengo la formula per il calcolo del termine ennesimo della successione.
Tuttavia quando mi trovo davanti successioni con due soli termini non so come procedere... qualche consiglio? Devo utilizzare un approccio differente da quello descritto sopra? Ho provato ad utilizzare il classico procedimento per il calcolo di una formula chiusa per la sequenza di Fibonacci, ma anche qui mi sono bloccato senza risultati...
Grazie in anticipo!
"Calcolare il termine ennesimo nella successione definita da
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
a_0=1\\
a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}
\end{matrix}\right. \)
"
Dunque, sono "abituato" a calcolare il termine ennesimo di una successione avendo a disposizione 3 termini, ponendo il termine $a_n = r^n$, e ottenendo così un'equazione (quadratica solitamente). Chiamando $r_1,r_2$ tali radici, il termine ennesimo della successione sarà nella forma $a_n = A(r_1)^n + B(r_2)^n$. Impostando poi un sistema con i termini $a_0,a_1$, ottengo la formula per il calcolo del termine ennesimo della successione.
Tuttavia quando mi trovo davanti successioni con due soli termini non so come procedere... qualche consiglio? Devo utilizzare un approccio differente da quello descritto sopra? Ho provato ad utilizzare il classico procedimento per il calcolo di una formula chiusa per la sequenza di Fibonacci, ma anche qui mi sono bloccato senza risultati...
Grazie in anticipo!
Risposte
Non è semplicemente $a_(n+1)=F_(n+1)/F_n$ ?
$F_n$ numero di Fibonacci ennesimo
$F_n$ numero di Fibonacci ennesimo
Non ho capito la tua risposta.... perchè devo "scomodare" Fibonacci?
perchè i termini della successione sono
$1;2;3/2;5/3;8/5;13/8;21/13;.........$
$1;2;3/2;5/3;8/5;13/8;21/13;.........$
"raf85":
perchè i termini della successione sono
$1;2;3/2;5/3;8/5;13/8;21/13;.........$
Quindi:
\[
a_3=\frac{3}{2} =\frac{F_3}{F_2},\quad a_4=\frac{5}{3}=\frac{F_4}{F_3},\quad a_5=\frac{8}{5}=\frac{F_5}{F_4},
\]
etc... E, per quel che riguarda i primi due termini, direi anche:
\[
a_0=1=\frac{1}{1} = \frac{F_1}{F_0},\quad a_1=2=\frac{2}{1} =\frac{F_2}{F_1}
\]
Quello che rimane da fare è una bella dimostrazione per induzione, per far vedere che la formula indovinata è proprio quella giusta.
Invece di "tirare ad indovinare" la formula, si può costruirla come segue. Poniamo :
$a_n={y_n}/{z_n}$
e sostituendo nella relazione data si ha :
${y_{n+1}}/{z_{n+1}}={y_n+z_n}/{y_n}$
A meno di un inessenziale fattore di proporzionalità ( che comunque scomparirebbe nel calcolo di $a_n$), si può porre :
\(\displaystyle \begin{cases}y_{n+1}=y_n+z_n \\z_{n+1}=y_n\end{cases} \)
Essendo
(1) $z_n=y_{n-1}$
dal sistema si trae l'equazione:
$y_{n+1}-y_n-y_{n-1}=0$
Com' è noto, la soluzione è :
$y_n= A({1+sqrt5}/{2})^n+B({1-sqrt5}/{2})^n $
e per la (1) è :
$z_n=A({1+sqrt5}/{2})^{n-1}+B({1-sqrt5}/{2})^{n-1}$
Pertanto :
(2) $a_n={A({1+sqrt5}/{2})^n+B({1-sqrt5}/{2})^n }/{A({1+sqrt5}/{2})^{n-1}+B({1-sqrt5}/{2})^{n-1} }$
Imponendo la condizione $a_o=1$ si ottiene ( salvo errori miei
) :
$B=-{3-sqrt 5}/{3+sqrt 5}A$
E questo valore di B, sostituito nella (2), libera $a_n$ dalle costanti $A,B$
$a_n={y_n}/{z_n}$
e sostituendo nella relazione data si ha :
${y_{n+1}}/{z_{n+1}}={y_n+z_n}/{y_n}$
A meno di un inessenziale fattore di proporzionalità ( che comunque scomparirebbe nel calcolo di $a_n$), si può porre :
\(\displaystyle \begin{cases}y_{n+1}=y_n+z_n \\z_{n+1}=y_n\end{cases} \)
Essendo
(1) $z_n=y_{n-1}$
dal sistema si trae l'equazione:
$y_{n+1}-y_n-y_{n-1}=0$
Com' è noto, la soluzione è :
$y_n= A({1+sqrt5}/{2})^n+B({1-sqrt5}/{2})^n $
e per la (1) è :
$z_n=A({1+sqrt5}/{2})^{n-1}+B({1-sqrt5}/{2})^{n-1}$
Pertanto :
(2) $a_n={A({1+sqrt5}/{2})^n+B({1-sqrt5}/{2})^n }/{A({1+sqrt5}/{2})^{n-1}+B({1-sqrt5}/{2})^{n-1} }$
Imponendo la condizione $a_o=1$ si ottiene ( salvo errori miei
) :$B=-{3-sqrt 5}/{3+sqrt 5}A$
E questo valore di B, sostituito nella (2), libera $a_n$ dalle costanti $A,B$
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