[teoria] unicità soluzione problema di Cauchy

[jitter1]

Ho qualche difficoltà con le equazioni differenziali, quindi espongo qualche mio dubbio che se non risolvo non ne vengo a capo. Un vostro aiuto sarebbe veramente apprezzato.

Se ho un'equazione differenziale lineare nella forma $y' = a(t)y + b(t)$, una condizione iniziale $ y(t_0)=y_0$ determina l'unicità della soluzione.
Nel procedimento che porta all'integrale generale, però, si sceglie una delle primitive. Che succederebbe se se ne scegliesse un'altra? Si otterrebbe lo stesso (unico) risultato? Mi aspetterei di sì, ma...

esempio:
$ { ( y'-y/t=0 ),(y(2)=1 ):} $

Se scelgo $lg(t)$ come primitiva di $1/t$ ottengo come soluzione $y=t/2$, mentre se scelgo come primitiva p. Es. $log(t)+1$ ottengo come soluzione $y=t/(2e)$.

Dove sbaglio?

[Plepp]

"jitter":
Se scelgo $lg(t)$ come primitiva di $1/t$ ottengo come soluzione $y=t/2$, mentre se scelgo come primitiva p. Es. $log(t)+1$ ottengo come soluzione $y=t/(2e)$.

Dove sbaglio?

Ti conviene postare i calcoli, l'errore è sicuramente lì in mezzo.

In ogni caso la soluzione corretta è la prima. Detta $y$ la soluzione del p.d.C., dalla condizione iniziale deduci che $y(t)>0$ per ogni $t>0$. Hai:
\[y'(t)-y(t)/t=0\implies y'(t)/y(t)=1/t\stackrel{y>0}{\implies} \dfrac{\text{d}}{\text{d} t}(\log y(t))=\dfrac{\text{d}}{\text{d} t}(\log t)\]
Quindi $\log y(t)=\log t +c$ per una costante $c$ opportuna, ovvero $y(t)=kt$ con $k=e^c>0$. Imponendo la condizione iniziale trovi $k=1/2$.

[jitter1]

Ciao Plepp, hai ragione, avevo sbagliato un calcolo! Ora mi resta da capire perché, in generale, scegliendo qualsiasi primitiva ottengo la stessa soluzione, ma questo lo troverò sui libri.
Grazie!

[Plepp]

Figurati

Se ho capito quello che intendi, in soldoni scegliendo una primitiva diversa ti ritrovi una costante $k$ diversa, ma imponendo la condizione iniziale ottieni comunque la soluzione corretta.

[jitter1]

"Plepp":Se ho capito quello che intendi, in soldoni scegliendo una primitiva diversa ti ritrovi una costante k diversa, ma imponendo la condizione iniziale ottieni comunque la soluzione corretta.

Esatto, intendevo proprio questo! Detto così è chiaro e diretto... mi pare la stessa cosa che stavo per postare con la pappardella contorta qui sotto in testo nascosto... Ma ora mi sa proprio che ci siamo capiti! (fiuuu che sollievo, è tutto il pomeriggio che ci son su:D ).

Se uso primitive diverse nel fattore integrante, per motivi algebrici (sistema) otterrò espressioni diverse per gli integrali generali, cioè espressioni in cui le costanti compaiono "diversamente", ma sempre in modo da assumere valori (dipendenti dalla condizione iniziale) tali da dare, alla fine, la stessa unica soluzione.
Frase contorta che mi pare più chiara se l'illustrata con l'esempio di prima:

l'equazione di prima ($y'-(1/t)y = 0$) si rivolve molto più comodamente con il procedimento di Plepp, ma si può ritrovare anche moltiplicando entrambi i membri per il fattore integrante $e^A(t)$, con $A(t)$ primitiva di $a(t) = 1/t$ e poi integrando.
Se scelgo come primitiva $A(t) = logt$ otterrò come integrale generale $y = ct$ e (per $y(2) = 1$) $c = t/2$, quindi $y = t/2$;se invece scelgo come primitiva $A(t) = logx + 1$ otterrò come integrale generale $y = etc$ e $c = 1/(2e)$, quindi ancora $y = t/2$. A essere "unica", perciò, non è l'espressione dell'integrale generale, in cui le costanti compaiono appunto a seconda della primitiva scelta, ma è unica ogni soluzione che dipende da una condizione iniziale.

[Plepp]

"jitter":

Se scelgo come primitiva $A(t) = logt$ otterrò come integrale generale $y = ct$ e (per $y(2) = 1$) $c = t/2$, quindi $y = t/2$;se invece scelgo come primitiva $A(t) = logx + 1$ otterrò come integrale generale $y = etc$ e $c = 1/(2e)$, quindi ancora $y = t/2$. A essere "unica", perciò, non è l'espressione dell'integrale generale

Certo che è unica! Non ti pare che le scritture
\[y=cet,\ c>0\qquad y=kt,\ k>0\]
siano la stessa identica cosa?

[jitter1]

Ma porca miseria, è vero: mi sparerei!!!