Teoria Trasformata di Fourier
Una domanda di teoria abbastanza semplice sulla trasformata di fourier $X(f)$ di una funzione $f(t)$: quello che ho capito io è che le due funzioni sono associate mediante una trasformazione lineare, che associa a ogni elemento di uno spazio vettoriale di funzioni con dominio $T$ e codominio $C$ (numeri complessi) uno e un solo elemento dello spazio vettoriale di funzioni con dominio $F$ e codominio $C$. Tale che...? Cioè, dato che una trasformazione lineare, essendo una funzione, è una relazione descritta generalmente da una proprietà che rispettano gli elementi dei due insiemi tali che siano in relazione, vorrei sapere qual'è tale proprietà per la trasformazione Trasformata di Fourier, in parole povere, che legame c'è fra $x(t)$ e la sua trasformata di fourier $X(f)$. Sicuramente il legame è dato dalla formula della trasformata, ma io vorrei averne una spiegazione intuitiva.
Risposte
Beh, semplicemente la trasformata di Fourier è quell'applicazione lineare:
\[
\mathcal{F}:L^1\to C_0\; ,
\]
in cui $L^1=L^1(\RR;\CC)$ è lo spazio delle funzioni complesse sommabili secondo Lebesgue e $C_0=C_0(\RR;\CC)$ lo spazio delle funzioni continue che tendono a zero "all'infinito", la quale rimane definita dalla legge di assegnazione:
\[
\mathcal{F}(x):= X
\]
ove \(X\) è la funzione appartenente a $C_0$ definita ponendo:
\[
X(f) := \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ \mathbf{e}^{-2\pi\ \imath\ f\ t}\ \text{d} t
\]
(o simili, a seconda della normalizzazione della trasformata che si vuole usare).
\[
\mathcal{F}:L^1\to C_0\; ,
\]
in cui $L^1=L^1(\RR;\CC)$ è lo spazio delle funzioni complesse sommabili secondo Lebesgue e $C_0=C_0(\RR;\CC)$ lo spazio delle funzioni continue che tendono a zero "all'infinito", la quale rimane definita dalla legge di assegnazione:
\[
\mathcal{F}(x):= X
\]
ove \(X\) è la funzione appartenente a $C_0$ definita ponendo:
\[
X(f) := \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ \mathbf{e}^{-2\pi\ \imath\ f\ t}\ \text{d} t
\]
(o simili, a seconda della normalizzazione della trasformata che si vuole usare).
Ma che cos'è la funzione X per x? Io so che una funzione periodica x si può riscrivere come una sommatoria discreta da $-infty$ a $+infty$ di funzioni complesse, detta serie di Fourier, e questa può essere messa in funzione della frequenza della funzione (serie di fourier(f)).. Quindi intuitivamente, se x(t)=seriefourier(t), allora x(f)=seriefourier(f) è la funzione con esattamente la stessa espressione funzionale di x(t) solo che t è fatto diventare parametro e f variabile indipendente. Vado ad intuito: non è che la trasformata di Fourier X(f) di x(t) è anch'essa la funzione con la stessa identica espressione messa in funzione del parametro f?
Ma dove l'hai letta sta cosa della serie?
Non è che mi suoni poi tanto... Prova a fare un esempio.
Insomma, se $x(t)$ è la funzione periodica di periodo $2\pi$ definita in $]-\pi,\pi]$ da:
\[
x(t) := \begin{cases} -1 &\text{, se } -\pi
\]
allora la sua s.d.F. è:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{2(1-\cos (n\pi))}{n}\ \sin (n x)
\]
e dunque?
Non è che mi suoni poi tanto... Prova a fare un esempio.
Insomma, se $x(t)$ è la funzione periodica di periodo $2\pi$ definita in $]-\pi,\pi]$ da:
\[
x(t) := \begin{cases} -1 &\text{, se } -\pi
\]
allora la sua s.d.F. è:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{2(1-\cos (n\pi))}{n}\ \sin (n x)
\]
e dunque?
$x(t)$ si può riscrivere come la sua s.d.F o no? Se sì, che legame c'è fra la s.d.F. di $x(t)% e la sua trasformata?
"andy4649":
$x(t)$ si può riscrivere come la sua s.d.F o no?
Questa domanda è ambigua... Che vuoi dire?
La s.d.F. di una funzione periodica "sufficientemente buona" $x(t)$ converge puntualmente verso la funzione:
\[
x^* (t) := \frac{x(t^+) + x(t^-)}{2}
\]
(in cui \(\displaystyle x(t^\pm) := \lim_{\tau \to t^\pm} x(\tau)\)) che non sempre coincide con $x(t)$ (e.g., nell'esempio precedente $x^*(0)=0\neq -1=x(0)$).
D'altra parte, la serie converge in media integrale proprio verso $x(t)$.
Quindi che vuol dire per te che la serie di Fourier converge verso certa somma? Quale nozione di convergenza usi?
Perché è in base alla nozione di convergenza che usi che vai ad identificare $x(t)$ con la somma della sua s.d.F...
"andy4649":
Se sì, che legame c'è fra la s.d.F. di $x(t)$ e la sua trasformata?
In generale, non c'è nessun legame: infatti, non c'è nessuna funzione periodica che sia sommabile secondo Lebesgue (a parte la funzione identicamente nulla, s'intende).
Quindi serie e trasformata non si possono confrontare se rimani in ambiente classico (i.e., funzioni periodiche vs funzioni sommabili).
Tuttavia, se allarghi il campo e guardi la cosa attraverso la Teoria delle Distribuzioni, allora riesci a vedere che la s.d.F. di una funzione periodica (pensata come distribuzione) si può ricavare dalla t.d.F. della sua funzione generatrice (pensata come distribuzione) attraverso il Teorema di Campionamento.
Allora, spero che la mia domanda abbia un senso, se non ha senso dimmelo pure: la trasformata di fourier di una certa funzione ha una formula, che è quella da te citata. Quel tale Fourier, quando ha scelto questa formula, la ha scelta a caso? Perchè $X(f)=int_(-infty)^(infty)x(t)e^(-j2pift)deltat$? Questa formula fa si che X(f) e x(t) abbiano qualcosa in comune?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo