[Teoria] Sulle funzioni derivate.
Mettiamo che una funzione sia definita e derivabile in tutto l'insieme dei numeri reali. Ne calcoliamo la funzione derivata e osserviamo che il dominio di questa nuova funzione ottenuta non sia tutto $ RR $. Dei punti in cui $ f'$ non è definita, cosa si può dire? Come si procede per l'analisi della derivabilita' di $ f $ nei punti dove $ f'$ non è definita?
Risposte
"turtle87":
Mettiamo che una funzione sia definita e derivabile in tutto l'insieme dei numeri reali.
Le ipotesi dicono che la derivata è definita in tutto R.
Ciao
Mino
Scusate, vista l'ora e il fatto che scrivevo da un dispositivo mobile, dormivo. Mi scuso per il fatto che non sia stato molto attento. Se volete, provvedo a cancellare il mio precedente post.
Comunque, intendevo semplicemente chiedere questo: abbiamo una funzione $f$, composizione di funzioni elementari, e non composta da funzioni, quali, per esempio, siano la potenza ad esponente reale $x^\alpha$, con $ 0 < \alpha < 1 $ o la radice \(\displaystyle \sqrt[n]{x^m} \), con $ 0 < m < n $ (ho citato questi esempi non per confondere "dominio" e "insieme di derivabilità", ma per cercare di semplificare ulteriormente la situazione); $f$ ha un certo dominio: per semplicità, nel precedente post, ho supposto che esso fosse $R$, ma analogo discorso vale anche se il dominio sia $X \subseteq R$. Ora, se andiamo a derivare $f$, può succedere che la funzione $f'$, la funzione derivata, insomma, abbia un dominio inferiore a quello di $f$?
Da un mio manuale evinco che ciò non sia possibile, però non sono sicuro di ciò, quindi chiedo a voi
Comunque, intendevo semplicemente chiedere questo: abbiamo una funzione $f$, composizione di funzioni elementari, e non composta da funzioni, quali, per esempio, siano la potenza ad esponente reale $x^\alpha$, con $ 0 < \alpha < 1 $ o la radice \(\displaystyle \sqrt[n]{x^m} \), con $ 0 < m < n $ (ho citato questi esempi non per confondere "dominio" e "insieme di derivabilità", ma per cercare di semplificare ulteriormente la situazione); $f$ ha un certo dominio: per semplicità, nel precedente post, ho supposto che esso fosse $R$, ma analogo discorso vale anche se il dominio sia $X \subseteq R$. Ora, se andiamo a derivare $f$, può succedere che la funzione $f'$, la funzione derivata, insomma, abbia un dominio inferiore a quello di $f$?
Da un mio manuale evinco che ciò non sia possibile, però non sono sicuro di ciò, quindi chiedo a voi
ad esempio,la funzione $y=|x-x_0|$ è definita in $R$ ma non è derivabile in $x=x_0$
Certo che può accadere...
Ad esempio la funzione che assegna \(f(x):=\arcsin (\sin x)\) è definita e continua in tutto \(\mathbb{R}\) e però non è derivabile in nessun punto del tipo \(x_k=\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\).
Per capire il perché basta che ne tracci un grafico (clic).
Però, per capire bene l'affermazione del testo, bisognerebbe averla davanti... Che testo è?
Ad esempio la funzione che assegna \(f(x):=\arcsin (\sin x)\) è definita e continua in tutto \(\mathbb{R}\) e però non è derivabile in nessun punto del tipo \(x_k=\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\).
Per capire il perché basta che ne tracci un grafico (clic).
Però, per capire bene l'affermazione del testo, bisognerebbe averla davanti... Che testo è?
Il testo è Renato Fiorenza, "Esercitazioni di analisi matematica".
L'obiettivo è sempre quello di trovare l'insieme di derivabilità della funzione $f$.
A pagina 129 viene detto: "un'espressione elementare $f(x)$ nella quale non intervengono le funzioni (1) [tra cui quelle citate da me e quella citata da Gugo, ndr] è derivabile in ogni punto del suo insieme di definizione".
Leggo quest'altra discussione [https://www.matematicamente.it/forum/post325117.html], nella quale si dice che:
per trovare l'insieme di derivabilità di una funzione, basta escludere dal dominio di $f$ i punti in cui la derivata destra e sinistra non siano uguali, o i punti in cui essa sia infinita.
Dalle due affermazioni precedenti, quella del testo e quella dell'altra discussione, io evinco che non possono esserci punti del dominio di $f$ e che non fanno parte del dominio di $f'$ (dominio di $f'$, concettualmente da me distinto da quello di insieme di derivabilità di $f$) in cui non avvengano le ipotesi relative alle funzioni (1); ma solo punti che fanno parte del dominio di $f$ in cui avvengono le ipotesi per cui si devono escludere "i punti in cui la derivata destra e sinistra non esistano, o i punti in cui essa sia infinita", fondamentalmente quelli richiamati da me e da Gugo, e quelli riferiti, per esempio, al caso richiamato da porzio, in cui la derivata destra e sinistra è distinta.
Facciamo un esempio: $f$ sia definita in $(0, +\infty)$; $f'$ abbia un'espressione elementare (ma anche un'espressione "a tratti", per includere l'eventualità, magari citata da Porzio) e sia una funzione (la funzione derivata, appunto) definita in $(0;1)$. Non intervengano punti che facciano riferimento agli esempi richiamati da me, Gugo e Porzio. Io ho capito, leggendo la citazione del testo, che ciò non possa avvenire. Ma la cosa mi insospettisce, e quindi chiedo a voi
L'obiettivo è sempre quello di trovare l'insieme di derivabilità della funzione $f$.
A pagina 129 viene detto: "un'espressione elementare $f(x)$ nella quale non intervengono le funzioni (1) [tra cui quelle citate da me e quella citata da Gugo, ndr] è derivabile in ogni punto del suo insieme di definizione".
Leggo quest'altra discussione [https://www.matematicamente.it/forum/post325117.html], nella quale si dice che:
per trovare l'insieme di derivabilità di una funzione, basta escludere dal dominio di $f$ i punti in cui la derivata destra e sinistra non siano uguali, o i punti in cui essa sia infinita.
Dalle due affermazioni precedenti, quella del testo e quella dell'altra discussione, io evinco che non possono esserci punti del dominio di $f$ e che non fanno parte del dominio di $f'$ (dominio di $f'$, concettualmente da me distinto da quello di insieme di derivabilità di $f$) in cui non avvengano le ipotesi relative alle funzioni (1); ma solo punti che fanno parte del dominio di $f$ in cui avvengono le ipotesi per cui si devono escludere "i punti in cui la derivata destra e sinistra non esistano, o i punti in cui essa sia infinita", fondamentalmente quelli richiamati da me e da Gugo, e quelli riferiti, per esempio, al caso richiamato da porzio, in cui la derivata destra e sinistra è distinta.
Facciamo un esempio: $f$ sia definita in $(0, +\infty)$; $f'$ abbia un'espressione elementare (ma anche un'espressione "a tratti", per includere l'eventualità, magari citata da Porzio) e sia una funzione (la funzione derivata, appunto) definita in $(0;1)$. Non intervengano punti che facciano riferimento agli esempi richiamati da me, Gugo e Porzio. Io ho capito, leggendo la citazione del testo, che ciò non possa avvenire. Ma la cosa mi insospettisce, e quindi chiedo a voi
In genere si derivano funzioni composte e dotate di espressione elementare .
Pertanto è necessario in un primo momento (salvo poi verificare applicando la definizione) escludere dal dominio di esistenza della derivata i punti in cui non è applicabile il teorema di derivazione delle funzioni composte: dove le funzioni elementari non sono derivabili, certamente i punti di discontinuità per f.
Non so se ho risposto alle tue domande.
Ho letto peraltro dell' esistenza di funzioni continua in un intervallo e ivi non derivabili.
Poi non è necessario scusarsi (soprattutto con me).
Ciao
Mino
Pertanto è necessario in un primo momento (salvo poi verificare applicando la definizione) escludere dal dominio di esistenza della derivata i punti in cui non è applicabile il teorema di derivazione delle funzioni composte: dove le funzioni elementari non sono derivabili, certamente i punti di discontinuità per f.
Non so se ho risposto alle tue domande.
Ho letto peraltro dell' esistenza di funzioni continua in un intervallo e ivi non derivabili.
Poi non è necessario scusarsi (soprattutto con me).
Ciao
Mino
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