Teoria sulla continuità di funzioni in $\RR^2$
Direttamente dal compito di Analisi:
$f(x)=\{(\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2} if (x,y)!=(0,0)),(0 if (x,y)=(0,0)):}$
e sia $A={(x,y)in \RR^2 : 4<=x^2+y^2<=16, x<=0}$
a) Calcolare $f_x (0,0)$ e $f_y (0,0)$;
b) Provare che f è continua
Ora per il punto a non dovrebbero esserci problemi: la restrizione di f sia all'asse x che all'asse y è la funzione nulla, perciò $f_x$ e $f_y$ in (0,0) valgono entrambi 0.
Il secondo punto mi è invece un po' più controverso. Io ho ragionato così:
le derivate parziali esistono e sono finite. Valgono entrambi 0. Da ciò si dovrebbe avere che $\nabla f(0,0)*v=0$ qualunque sia la direzione v.
Facendo il limite direzionale, fughiamo questo dubbio. Si ha:
$x \rarr th$;
$y \rarr tk$;
$lim_{t \rarr 0} \frac{4(th)^2(tk)^2}{t*((th^2+(tk)^2))} = lim_{t \rarr 0} 4th^2k^2 = 0$ per ogni (h,k), quindi per ogni direzione. Vale quindi la relazione $\frac{\delta f}{\delta v} (0,0) = \nabla (0,0)$.
Da tutto ciò si evince come la funzione sia differenziabile in $P_0$.
Da ciò si può inoltre affermare, per il teorema del differenziale totale, che la funzione è anche continua in $P_0$, essendo la condizione di differenziabilità sufficiente alla continuità nelle funzioni di $\RR^2$.
Ho ragionato bene?
$f(x)=\{(\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2} if (x,y)!=(0,0)),(0 if (x,y)=(0,0)):}$
e sia $A={(x,y)in \RR^2 : 4<=x^2+y^2<=16, x<=0}$
a) Calcolare $f_x (0,0)$ e $f_y (0,0)$;
b) Provare che f è continua
Ora per il punto a non dovrebbero esserci problemi: la restrizione di f sia all'asse x che all'asse y è la funzione nulla, perciò $f_x$ e $f_y$ in (0,0) valgono entrambi 0.
Il secondo punto mi è invece un po' più controverso. Io ho ragionato così:
le derivate parziali esistono e sono finite. Valgono entrambi 0. Da ciò si dovrebbe avere che $\nabla f(0,0)*v=0$ qualunque sia la direzione v.
Facendo il limite direzionale, fughiamo questo dubbio. Si ha:
$x \rarr th$;
$y \rarr tk$;
$lim_{t \rarr 0} \frac{4(th)^2(tk)^2}{t*((th^2+(tk)^2))} = lim_{t \rarr 0} 4th^2k^2 = 0$ per ogni (h,k), quindi per ogni direzione. Vale quindi la relazione $\frac{\delta f}{\delta v} (0,0) = \nabla (0,0)$.
Da tutto ciò si evince come la funzione sia differenziabile in $P_0$.
Da ciò si può inoltre affermare, per il teorema del differenziale totale, che la funzione è anche continua in $P_0$, essendo la condizione di differenziabilità sufficiente alla continuità nelle funzioni di $\RR^2$.
Ho ragionato bene?
Risposte
Ciao,
allora come prima cosa per verificare la continuità di una funzione in un punto, devi verificare che il limite della funzione esista...e per far questo non è sufficiente vericare il limite solo lungo le direzioni "rette", ma bisogna anche verificare che esista l'intorno......(esistono esempi in cui il limite non esiste, anche se lungo ogni direzione "retta" il limite ammette stesso valore finito).....
.....comunque sia, potresti verificare se la funzione è differenziabile nel punto in questo modo:
(è una condizione necessaria e sufficiente, per dimostrare che una funzione di due variabili sia differenziabile)
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
ossia devi verificare che l'espressione scritta sopra dia come risultato $0$ al tendere di $(x,y)->0$....se questo viene verificato significa che esisterà il piano tangente alla superfice nel punto e quindi significa che la funzione nel punto è continua!
allora come prima cosa per verificare la continuità di una funzione in un punto, devi verificare che il limite della funzione esista...e per far questo non è sufficiente vericare il limite solo lungo le direzioni "rette", ma bisogna anche verificare che esista l'intorno......(esistono esempi in cui il limite non esiste, anche se lungo ogni direzione "retta" il limite ammette stesso valore finito).....
.....comunque sia, potresti verificare se la funzione è differenziabile nel punto in questo modo:
(è una condizione necessaria e sufficiente, per dimostrare che una funzione di due variabili sia differenziabile)
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
ossia devi verificare che l'espressione scritta sopra dia come risultato $0$ al tendere di $(x,y)->0$....se questo viene verificato significa che esisterà il piano tangente alla superfice nel punto e quindi significa che la funzione nel punto è continua!
$lim_{(x,y) \rarr (0,0)} \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^(3/2)}$ è uguale a zero per il corollario al teorema dei carabinieri.
Infatti abbiamo che $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^(3/2)} = 4xy*\frac{x}{x^2+y^2}*\frac{y}{sqrt(x^2+y^2)}$ ossia:
$4xy$ è una funzione infinitesima, per $(x,y) \rarr (0,0)$;
$\frac{x}{x^2+y^2}$ è limitata per $(x,y) \rarr (0,0)$;
$\frac{y}{sqrt(x^2+y^2)}$ è limitata per $(x,y) \rarr (0,0)$.
Quindi abbiamo un prodotto di due limitate per una infinitesima. Quindi per il corollario al teorema dei carabinieri il prodotto di queste tre funzioni restituisce una funzione infinitesima, ergo per $(x,y) \rarr (0,0)$ il limite vale 0.
Basta quindi questo per affermare con sicurezza che la funzione è differenziabile in (0,0) (e quindi ivi continua)?
Grazie ancora!
Infatti abbiamo che $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^(3/2)} = 4xy*\frac{x}{x^2+y^2}*\frac{y}{sqrt(x^2+y^2)}$ ossia:
$4xy$ è una funzione infinitesima, per $(x,y) \rarr (0,0)$;
$\frac{x}{x^2+y^2}$ è limitata per $(x,y) \rarr (0,0)$;
$\frac{y}{sqrt(x^2+y^2)}$ è limitata per $(x,y) \rarr (0,0)$.
Quindi abbiamo un prodotto di due limitate per una infinitesima. Quindi per il corollario al teorema dei carabinieri il prodotto di queste tre funzioni restituisce una funzione infinitesima, ergo per $(x,y) \rarr (0,0)$ il limite vale 0.
Basta quindi questo per affermare con sicurezza che la funzione è differenziabile in (0,0) (e quindi ivi continua)?
Grazie ancora!
"Zerogwalur":
Basta quindi questo per affermare con sicurezza che la funzione è differenziabile in (0,0) (e quindi ivi continua)?
Grazie ancora!
per la differenziabilità non è sufficiente la continuità, per essere sicuro che una funzione sia differenziabile usa la formula che ti ho scritto nel post precedente...poi una volta che verifichi la differenziabilità, allora hai anche la continuità.....Infatti la differenziabilità implica la continuità, ma ricordati che NON vale il vice-versa...esistono funzioni continue che NON sono differenziabili!
Ok grazie. Dubbio risolto.
Le funzioni razionali sono sempre continue, tranne eventualmente nei punti in cui si annulla il denominatore. A tal proposito nel tuo caso se riscrivi la funzione cosí $4/(1/(x^2)+1/(y^2))$ il limite di cui sopra é chiaro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo