Teoria successioni
Salve a tutti sto preparando l'esame di Analisi e mi trovo a studiare le successioni. A me le cose piace capirle anche perchè non sono dotato di buona memoria. Il concetto di successione l'ho capito ed è molto semplice. Non riesco a capire definizione di successione convergente. La definizione è: una successione di numeri reali an converge ad un numero reale l se e solo se comunque si fissi un numero reale positivo ε riusciamo a determinare un indice n0 appartenente a N tale che tutti i termini della successione con indice maggiore di n0 hanno 'distanza da l minore di ε. Scusate se non l'ho scritta in simboli ma non ci sono riuscito. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questa definizione spiegandola con parole un pò più semplici. Grazie in anticipo:)
Risposte
Ci provo. Scriviamo innanzi tutto in simboli la definizione di successione convergente.
Detto ciò ragioniamo sul significato di questa definizione. Per ogni $\varepsilon$ significa che la scelta di $\varepsilon$ è arbitraria. Una volta scelto, a piacimento, questo $\varepsilon$, esisterà un numero naturale tale che ogni elemento della successione $a_n$ con $n \geq N$ si troverà dentro la palla $B(p;\varepsilon)$ di raggio $\varepsilon$ e con centro in $p$.
Ribadisco che, se la successione converge, per qualsiasi $\varepsilon$ potrai trovare un $N$ che soddisfa la condizione.
Ragionando in termini euristici, se sceglierai $\varepsilon$ prossimo allo $0$, allora la distanza tra il punto $p$ e i termini della successione (con $n \geq N$) saranno prossimi al punto $p$. In pratica con l'avanzare di $n$ i punti della successione si accumuleranno attorno al punto $p$, e se immaginiamo di far crescere $n$ all'infinito, allora $a_n$ sarà il punto $p$ stesso [quest'ultima frase è errata matematicamente parlando ma rende l'idea].
Spero di averti chiarito un po' le idee e di non aver scritto qualche cavolata
EDIT: Aggiungo un grafico che ho fatto con Mathematica. Ho disegnato 3 palle con raggi diversi. Come vedi, per ogni raggio, la successione di punti "dopo un po' " sta tutta dentro la palla. Se immagini di ragionare così prendendo palle sempre più piccole la successione convergerà al punto $O(0,0)$.
Si dice che successione $a_n$ in uno spazio metrico $(X,d)$ converge and un punto $p \in X$ se:\[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N : n \geq N \Longrightarrow d(a_n,p) < \varepsilon\]
In tal caso si dirà che $a_n$ converge a $p$ o che $p$ è il limite di $a_n$ e si indicherà con le seguenti scritture:
\[\lim a_n = l \\a_n \to l\]
Detto ciò ragioniamo sul significato di questa definizione. Per ogni $\varepsilon$ significa che la scelta di $\varepsilon$ è arbitraria. Una volta scelto, a piacimento, questo $\varepsilon$, esisterà un numero naturale tale che ogni elemento della successione $a_n$ con $n \geq N$ si troverà dentro la palla $B(p;\varepsilon)$ di raggio $\varepsilon$ e con centro in $p$.
Ribadisco che, se la successione converge, per qualsiasi $\varepsilon$ potrai trovare un $N$ che soddisfa la condizione.
Ragionando in termini euristici, se sceglierai $\varepsilon$ prossimo allo $0$, allora la distanza tra il punto $p$ e i termini della successione (con $n \geq N$) saranno prossimi al punto $p$. In pratica con l'avanzare di $n$ i punti della successione si accumuleranno attorno al punto $p$, e se immaginiamo di far crescere $n$ all'infinito, allora $a_n$ sarà il punto $p$ stesso [quest'ultima frase è errata matematicamente parlando ma rende l'idea].
Spero di averti chiarito un po' le idee e di non aver scritto qualche cavolata
EDIT: Aggiungo un grafico che ho fatto con Mathematica. Ho disegnato 3 palle con raggi diversi. Come vedi, per ogni raggio, la successione di punti "dopo un po' " sta tutta dentro la palla. Se immagini di ragionare così prendendo palle sempre più piccole la successione convergerà al punto $O(0,0)$.
perfetto grazie mille:)
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