Teoria misura: misura della differenza

[giocind_88]

Buonasera . Chiedo scusa, vorrei porVi una domanda, se è possibile, riguardo la misurabilità di insiemi. Precisamente, nello studio di un esame di analisi, nella parte della teoria della misura ho riscontrato che se prendiamo una misura e consideriamo la misura della differenza di due insiemi MISURABILI allora tale misura è pari alla differenza della misura di ciascun singolo insieme. C'è qualche "dimostrazione" per tale affermazione? Ho provato a dedurlo dalle cose studiate precedentemente ma non ci sono risultati teorici che possano "assicurare" la veridicità di quanto sopra chiesto. GRAZIE MILLE MILLE anticipatamente

[Antimius]

Una misura è $\sigma$-additiva, in particolare è finitamente additiva. Quindi, essendo $A = (A \backslash B) \cup B$ un'unione disgiunta, ottieni che $\mu(A) = \mu(A \backslash B) + \mu(B)$, da cui, se $\mu(B) < \infty$, puoi concludere che...

[Raptorista1]

Questo è vero solo se \(B\) sta dentro \(A\).

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Ho separato in un'altra discussione. UNA sola domanda indipendente in ogni discussione, grazie. [/xdom]

[giocind_88]

Concordo perfettamente con voi . GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE . Però SE B NON FOSSE INCLUSO IN A, NON E' VERIFICATO quanto sopra da me chiesto? ANCORA GRAZIE, GRAZIE MILLE

[Raptorista1]

A parte che non dovresti scrivere in maiuscolo, a questo puoi rispondere da solo con un controesempio.

[giocind_88]

Chiedo scusa . Ricordavo che solo i "titoli" dei messaggi non devono essere scritti in maiuscolo e in base a ciò, in "buona fede" ho sentito di ringraziarvi sentitamente scrivendo il mio ringraziamento in maiuscolo . Penso che se B non fosse incluso in A non è verificata l'uguaglianza sopra scritta. (Se non sbaglio, quando non si ha l'ipotesi che gli insiemi misurabili in gioco sono disgiunti, sussiste il segno di "<" (al più di uguaglianza) del primo membro rispetto al secondo)

[gugo82]

"gi88":nella parte della teoria della misura ho riscontrato che se prendiamo una misura e consideriamo la misura della differenza di due insiemi MISURABILI allora tale misura è pari alla differenza della misura di ciascun singolo insieme.

Questa proprietà, così come enunciata, è falsa.

Prendi ad esempio i due quadrati $Q_1:=[0,1]^2, Q_2:=[2,4]^2\subseteq \RR^2$: tali quadrati sono disgiunti, sicché \(Q_2\setminus Q_1 =Q_2\) e \(\mu (Q_2\setminus Q_1) =\mu(Q_2)=4\), però si ha pure \(\mu(Q_2) - \mu (Q_1) = 4-1 =3\); perciò \(\mu (Q_2\setminus Q_1) \neq \mu(Q_2) - \mu (Q_1)\).

La proprietà che citi è vera solo se uno dei due insiemi misurabili è contenuto nell'altro.
La dimostrazione di questo fatto è quella riportata da Antimius.

[Raptorista1]

Wait, what??

[gugo82]

"Raptorista":
Wait, what??

Hai ragione... Ho scritto di fretta.
Ora correggo.

[Raptorista1]

"gugo82":
Hai ragione... Ho scritto di fretta.
Ora correggo.

Capita, soprattutto a quell'ora!
Ho cancellato le prove, delitto perfetto