Teoria integrazione di Lebesgue
La teoria dell'integrale di Lebesgue, quali conoscenze dovrei avere? meglio, su quali testi devo studiare e quali argomenti
per avere gli strumenti necessari per affrontare l'argomento?se potete anche indicarmi dei testi.. io purtroppo conosco solo l'analisi 1 e 2 (ingegneria)
per avere gli strumenti necessari per affrontare l'argomento?se potete anche indicarmi dei testi.. io purtroppo conosco solo l'analisi 1 e 2 (ingegneria)
Risposte
[mod="Fioravante Patrone"]Per cortesia, metti un titolo meno generico.[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]Grazie per aver cambiato il titolo[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]Grazie per aver cambiato il titolo[/mod]
Topologia in $RR^n$ ( norme, prodotto scalare, completezza degli spazi, etc ). E... non credo molto altro.
Di norma, comunque, la teoria della misura viene trattata nel programma di analisi matematica 2.
Di norma, comunque, la teoria della misura viene trattata nel programma di analisi matematica 2.
leggendo su wiki alcune cose sono a me sconosciute, per esempio:
preimmagine
sottoinsieme boreliano
sigma algebra
funzione indicatrice
sulla teoria della misura abbiamo fatto si e no 1-2 lezioni per introdurre l'integrazione in R^n
preimmagine
sottoinsieme boreliano
sigma algebra
funzione indicatrice
sulla teoria della misura abbiamo fatto si e no 1-2 lezioni per introdurre l'integrazione in R^n
La preimmagine e la funzione indicatrice non sono niente di difficile. Cercale pure su wikipedia, capirai subito cosa sono. (Può darsi anche che preimmagine tu la conosca come controimmagine)
Per quanto riguarda le sigma algebre: sono una struttura algebrica, basta studiarne le proprietà. Il concetto di base è quello di avere una collezione di insiemi chiusa rispetto a certe operazioni, quindi una struttura con determinate caratteristiche. A ognuno di questi insiemi si associa tramite una funzione (detta misura) un valore reale positivo. Ma è un discorso puramente formale, che poi si concretizza per descrivere la teoria che si vuole sviluppare, che sia di Peano-Jordan o di chi vuoi tu.
Ti faccio un esempio: nella misura di Peano-Jordan gli insiemi elementari da cui si parte sono i plurintervalli e si associa a loro una certa misura. Da qui si parte con lo sviluppo della teoria. Si definisce la misura e si vuole che sia finitamente additiva. In realtà, poi, gli insiemi misurabili in Peano-Jordan mi sembra che formino un anello booleano (un'altra struttura algebrica).
In ogni caso, se conosci qualche struttura, come gruppi, anelli, campi, capirai al volo.
Per quanto riguarda le sigma algebre: sono una struttura algebrica, basta studiarne le proprietà. Il concetto di base è quello di avere una collezione di insiemi chiusa rispetto a certe operazioni, quindi una struttura con determinate caratteristiche. A ognuno di questi insiemi si associa tramite una funzione (detta misura) un valore reale positivo. Ma è un discorso puramente formale, che poi si concretizza per descrivere la teoria che si vuole sviluppare, che sia di Peano-Jordan o di chi vuoi tu.
Ti faccio un esempio: nella misura di Peano-Jordan gli insiemi elementari da cui si parte sono i plurintervalli e si associa a loro una certa misura. Da qui si parte con lo sviluppo della teoria. Si definisce la misura e si vuole che sia finitamente additiva. In realtà, poi, gli insiemi misurabili in Peano-Jordan mi sembra che formino un anello booleano (un'altra struttura algebrica).
In ogni caso, se conosci qualche struttura, come gruppi, anelli, campi, capirai al volo.
"Antimius":
In ogni caso, se conosci qualche struttura, come gruppi, anelli, campi, capirai al volo.
Grazie per le delucidazioni! anche queste mi mancano, ma sul testo di geometria dovrei trovarne le definizioni
In realtà, è più facile che le trovi in un testo di algebra. Ma gruppi, anelli, campi sono strutture talmente note che le troverai ovunque anche su internet. Se poi vuoi approfondirle, ovvio, è sempre meglio un buon testo.
Di libri di teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue ce ne sono a bizzeffe; tuttavia sono per lo più testi che (secondo me) non si addicono ad un ingegnere, perchè non fanno capire qual è il vero punto della questione.
Il problema è che per comprendere ed usare l'integrale di Lebesgue in [tex]\mathbb{R}^N[/tex], in realtà, non c'è tutto questo impellente bisogno di conoscere la teoria astratta della misura, ma basta conoscere solo la definizione di insieme di misura nulla secondo Lebesgue: questo fatto è comunemente taciuto nei testi di Analisi Reale più in voga, come ad esempio il papa Rudin, mentre credo fosse ben chiaro a Lebesgue ed ai suoi immediati successori.
Come lettura introduttiva, ad ogni modo, ti posso consigliare un simpatico articolo di Peter Lax (quello del teorema di Lax-Milgram) dal titolo Rethinking the Lebesgue Integral pubblicato su The American Mathematical Monthly, 116 (2009) n° 10, pagg. 863-881.
Dovresti trovare la rivista nella biblioteca del dipartimento di Matematica della tua università.
Il problema è che per comprendere ed usare l'integrale di Lebesgue in [tex]\mathbb{R}^N[/tex], in realtà, non c'è tutto questo impellente bisogno di conoscere la teoria astratta della misura, ma basta conoscere solo la definizione di insieme di misura nulla secondo Lebesgue: questo fatto è comunemente taciuto nei testi di Analisi Reale più in voga, come ad esempio il papa Rudin, mentre credo fosse ben chiaro a Lebesgue ed ai suoi immediati successori.
Come lettura introduttiva, ad ogni modo, ti posso consigliare un simpatico articolo di Peter Lax (quello del teorema di Lax-Milgram) dal titolo Rethinking the Lebesgue Integral pubblicato su The American Mathematical Monthly, 116 (2009) n° 10, pagg. 863-881.
Dovresti trovare la rivista nella biblioteca del dipartimento di Matematica della tua università.
Ma cosa c'entrano gruppi anelli e campi con la teoria dell'integrale di Lebesgue? Sono cose utili da conoscere, sono d'accordo, ma non mi sembrano propedeutiche ad approfondimenti in questo senso.
@dissonance: Sincronia quasi perfetta! 
Ma no, mi riferivo alle sigma algebre. Perché lui nel post precedente chiedeva cosa fossero. Il senso del mio post era questo: se conosci campi, anelli ecc., capirai subito qual è il senso delle strutture algebriche e non ci metterai molto a capire come funzionano le sigma algebre. Forse sono andato un po' OT.
Per quanto riguarda ciò che serve per studiare la teoria di Lebesgue, non mi esprimo, perché non lo so. Ancora non l'ho fatta.
Per quanto riguarda ciò che serve per studiare la teoria di Lebesgue, non mi esprimo, perché non lo so. Ancora non l'ho fatta.
"gugo82":
...
Come lettura introduttiva, ad ogni modo, ti posso consigliare un simpatico articolo di Peter Lax (quello del teorema di Lax-Milgram) dal titolo Rethinking the Lebesgue Integral pubblicato su The American Mathematical Monthly, , pagg. 863-881.
Dovresti trovare la rivista nella biblioteca del dipartimento di Matematica della tua università.
Grazie mille del consiglio! altrimenti non saprei proprio da dove iniziare..
Perdona l'ignoranza ma non sapevo che in biblioteca conservassero anche le riviste
quindi in sintesi dovrei chiedere se hanno l'articolo?oppure la rivista The American Mathematical Monthly 116 (2009) n° 10?
-solo il titolo mi da già l'idea di qualcosa di irreperibile
-Nel secondo caso mi daranno un mattone di circa mille pagine ?
Scusa la banalità di queste domande..
Invece dal punto di vista nozionistico quali conoscenze mi sono necessarie per capire l'articolo?
e quest'ultimo è esauriente sull'argomento?
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