[teoria] equivalenza asintotica integrali impropri

[jitter1]

Svolgendo un ex su un integrale improprio mi è venuto un dubbio sul principio dell'equivalenza asintotica: "siano f, g due funzioni continue non negative asintoticamente equivalenti. Allora gli integrali impropri $ int_(a)^(+oo) f(x) dx$ e $ int_(a)^(+oo) g(x) dx $ hanno lo stesso comportamento.
Si può estendere al caso di funzioni entrambe negative? Un po' "per simmetria", un po' perché la dimostrazione verrebbe analoga: nel caso delle funzioni negative, se $ lim_(x -> +oo) f(x)/g(x)=1 $, applicando la definizione di limite con $\epsilon = 1/2$ si otterrebbe:
$ 3/2g(x) Nei testi che ho visto è sempre enunciato per funzioni non negative: è perché ho sbagliato qualcosa sopra o perché è dato come proprietà che poi si estende automaticamente per simmetria o per analogia? Grazie!

[Zero87]

Ciao jitter, non ricordo più come sono andate a finire le nostre discussioni sulle dispense, ma ormai non ho più nemmeno il tempo di dedicarmi all'arte matematica.

Comunque, non è detto che sia la motivazione giusta ma se
$\int_a^b c \cdot f(x)dx=c \cdot \int_a^b f(x)dx$ con $c$ costante reale
il $-$ non è altro che un $-1$ che porti fuori e quello che rimane dentro è la funzione positiva (se in partenza è negativa).

Per me it works, ma comunque aspettiamo altre risposte che non si sa mai.

[jitter1]

Zero87, che piacere rivederti Mi pare convincente!