Teoria di Riesz-Schauder

[Kroldar]

Dal teorema dell'alternativa, segue che un operatore di tipo Riesz, ovvero un operatore nella forma [tex]T = I - A[/tex] con [tex]A[/tex] in uno spazio di Banach è iniettivo se e solo se è suriettivo.

Il mio libro fa un'osservazione. Dice che questo risultato è ben noto in dimensione finita. Io purtroppo non ero a conoscenza di questo fatto. In dimensione finita se ne può dare una prova immediata? Se sì, come? E vale anche se [tex]A[/tex] non è compatto?

[Fioravante Patrone1]

Un operatore lineare tra spazi vettoriali di dimesione finita?

Vale dim[Im(f)]+dim[Ker(f)]=n.

Dove f:V -> W, con n dimensione di V.

Ovviamente nel tuo caso hai V=W.
E quindi se f è suriettiva, l'immagine ha dim n e quindi il nucleo ha dim 0, ovvero contiene solo lo 0 e quindi f è iniettiva.
Analogamente per l'altra strada.

Cfr:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango

[Kroldar]

Ti ringrazio!!
Vedo che non è stata un'idea geniale quella di non studiare algebra lineare a suo tempo

Tra l'altro, in dimensione finita ogni operatore lineare (oltre ad essere sempre continuo) è compatto?

[gugo82]

"Kroldar":Dal teorema dell'alternativa, segue che un operatore di tipo Riesz, ovvero un operatore nella forma [tex]T = I - A[/tex] con [tex]A[/tex] in uno spazio di Banach è iniettivo se e solo se è suriettivo.

Hai dimenticato "[tex]A \text{ compatto}[/tex]", mi sa.

Per quanto riguarda la dimensione finita e la compattezza, basta chiederti che fine fa la palla unitaria [tex]B(0;1)[/tex] se ne fai l'immagine attraverso un operatore lineare...

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":
Tra l'altro, in dimensione finita ogni operatore lineare (oltre ad essere sempre continuo) è compatto?

Oltre alla considerazione di Gugo82, puoi notare che in dimensione finita convergenza forte e debole coincidono (e lo stesso dicasi per la topologia forte e debole).

Quanto all'errore giovanile, tutti ne fanno.
Però quando hai un po' di tempo libero, una occhiata alle cose di base sarebbe una buona idea. L'algebra lineare te la trovi troppo spesso fra i piedi.

[Kroldar]

"Gugo82":
Hai dimenticato "[tex]A \text{ compatto}[/tex]", mi sa.

Sì. Lo avevo scritto, ma poi editando l'avrò cancellato accidentalmente. Tant'è che la mia domanda successiva sulla compattezza non era casuale

Sì Fioravante, hai ragione.
Anche perché la morale della favola è che quello che non fai oggi sarai costretto a farlo domani