Teoria delle distribuzioni

[act2]

ciao a tutti;
volevo chiedervi un parere sul calcolo della derivata distribuzionale in D' di:
$F(x)= x^2 H(2-x)+2x H(x-1)$ denotando con H(x) la funzione di Heaviside.

Presa una funzione $f$ $in$ $C_c^\infty$ ($RR$$)$
$<\partial$$F,f>$$=$$-$$$$=-$$\int_{-\infty}^{+infty}[x^2 H(2-x)+2x H(x-1)] f(x) dx$$=
$=-$$\int_{-\infty}^{+infty}[x^2 H(2-x)] f(x) dx$$-$$\int_{-\infty}^{+infty}[2x H(x-1)] f(x) dx$
integrando per parti ottengo
$\partial$$F= -4$$\delta_{2}$$+ 2x H(2-x) +2$$\delta_{1}$$+2 H(x-1)$

vi convince?
Perchè come controprova ho provato ad applicare
$\partial\(f T) = f' T + f $$\partial$$T$
visto che $T$$in$ $D^'$ ($RR$$)$ e $f$ $in$ $C^\infty$ ($RR$$)
però i due risultati non coincidono.......
Grazie

[Ska1]

Il risultato ottenuto con la definizione è corretto. Cercando il risultato con la formula di Leibniz torna anch'esso, infatti

$\partial (x^2H(2-x)) = \partial (x^2)H(2-x) + x^2\partial(H(2-x)) = 2xH(2-x) + x^2 \delta(2-x) (\partial (2-x)) = 2xH(2-x) - x^2 \delta(x-2) = 2xH(2-x) -4\delta(x-2)$

stessa cosa per l'altro termine

$\partial(2xH(x-1)) = \partial(2x) H(x-1) + 2x\partial(H(x-1)) = 2H(x-1) + 2x\delta(x-1)\partial(x-1) = 2H(x-1) + 2x\delta(x-1) = 2H(x-1) + 2\delta(x-1)$

Puoi calcolarle così oppure usare la definizione di derivata distribuzionale per calcolare la derivata della funzione di Heaviside traslata, comunque tu operi il risultato è quello.

[act2]

Grazie....