Teoria delle distribuzioni
Salve ragazzi,
Chiedo il vostro aiuto per un chiarimento teorico .
Il mio professore ha ribadito più volte che una funzione del tipo $ 1/x^2 $ , o comunque una funzione con degli zeri di ordine superiore al primo, non definisce una distribuzione ed io non capisco il perché .
Una funzione di questo tipo infatti è ( quantomeno a quanto ho capito ) sommabile, dunque dovrebbe esistere in senso proprio l'integrale finito $ int_(-oo )^(+oo) 1/x^2 Phi(x)dx AA Phi(x) $ nello spazio delle funzioni di test.... Perché non è così ?
Grazie mille !
Chiedo il vostro aiuto per un chiarimento teorico .
Il mio professore ha ribadito più volte che una funzione del tipo $ 1/x^2 $ , o comunque una funzione con degli zeri di ordine superiore al primo, non definisce una distribuzione ed io non capisco il perché .
Una funzione di questo tipo infatti è ( quantomeno a quanto ho capito ) sommabile, dunque dovrebbe esistere in senso proprio l'integrale finito $ int_(-oo )^(+oo) 1/x^2 Phi(x)dx AA Phi(x) $ nello spazio delle funzioni di test.... Perché non è così ?
Grazie mille !
Risposte
Le funzioni test sono le funzioni $\mathcal{C}^\infty$ a supporto compatto e per esse si hanno delle "garanzie" all'infinito, quanto mostruosa possa essere all'infinito la funzione con cui effetti la dualità, la funzione test sarà lì pari a 0 e dunque non ci saranno problemi di integrazione. Non si ha però nessun "controllo" al finito, cioè la funzione che vuoi che definisca la distribuzione deve stare almeno in $\mathcal{L}_{\text{loc}}^1$ e quella da te citata non ci sta.
Si può rimediare a questa cosa e prendere la distribuzione
$$ <\operatorname{v.p} \frac{1}{x}, \phi > := \operatorname{v.p} \int_{\mathbb{R}} \frac{\phi(x)}{x} dx $$
e farne la derivata nel senso delle distribuzioni, ottieni una distribuzione che è parente stretta di $\frac{1}{x^2}$.
Si può rimediare a questa cosa e prendere la distribuzione
$$ <\operatorname{v.p} \frac{1}{x}, \phi > := \operatorname{v.p} \int_{\mathbb{R}} \frac{\phi(x)}{x} dx $$
e farne la derivata nel senso delle distribuzioni, ottieni una distribuzione che è parente stretta di $\frac{1}{x^2}$.
Grazie mille per questa risposta !
Mi sono preoccupata soltanto di quello che la mia funzione faceva all'infinito, senza pensare cosa combinava in zero !
Posso però chiedere un ultimo chiarimento ?
Andando a rappresentare la mia funzione mi sono resa subito conto che non può appartenere( come erroneamente pensavo ) ad $ L prime (mathbb(R)) $ , ma perché non può essere di $ L prime(0, oo ) $ ? ( perdonami ma non riesco a scrivere L' (loc) )
Grazie ancora
Mi sono preoccupata soltanto di quello che la mia funzione faceva all'infinito, senza pensare cosa combinava in zero !
Posso però chiedere un ultimo chiarimento ?
Andando a rappresentare la mia funzione mi sono resa subito conto che non può appartenere( come erroneamente pensavo ) ad $ L prime (mathbb(R)) $ , ma perché non può essere di $ L prime(0, oo ) $ ? ( perdonami ma non riesco a scrivere L' (loc) )
Grazie ancora
"urbanmaths":
Grazie mille per questa risposta !
Mi sono preoccupata soltanto di quello che la mia funzione faceva all'infinito, senza pensare cosa combinava in zero !
Posso però chiedere un ultimo chiarimento ?
Andando a rappresentare la mia funzione mi sono resa subito conto che non può appartenere( come erroneamente pensavo ) ad $ L prime (mathbb(R)) $ , ma perché non può essere di $ L prime(0, oo ) $ ? ( perdonami ma non riesco a scrivere L' (loc) )
Grazie ancora
Allora , dato che mi è parso di cogliere una "certa incertezza" su questa cosa, ti inizio col dire che :
$f∈L(1)(loc)(I)⇔f∈L(1)[a,b]∀[a,b]⊆I$
[ciò detto, la tua funzione non è sommabile in$ (0,+∞)$ perché continui ad avere problemi in zero ! In particolare in x=0 hai un infinito di ordine 2 e dunque per criterio (di sommabilità) dell'infinito la tua funzione non è sommabile].
Ti ricordo inoltre, che $x(t)inL(1)loc(R))$ affinché possa indurre una distribuzione! Bada bene, dev'essere localmente sommabile in tutto R, non in in altri intervalli!
Ok, grazie mille !
Sono stata imprecisa io con le convenzioni, scrivendo infatti $ (0,oo) $ io intendo l'esclusione degli estremi, perciò avendo tolto lo zero non mi spiegavo la non sommabilità.
Per quanto riguarda invece la definizione di distribuzione in L' loc (R) invece ti ringrazio molto, non avevo ben capito questo concetto .
Sono stata imprecisa io con le convenzioni, scrivendo infatti $ (0,oo) $ io intendo l'esclusione degli estremi, perciò avendo tolto lo zero non mi spiegavo la non sommabilità.
Per quanto riguarda invece la definizione di distribuzione in L' loc (R) invece ti ringrazio molto, non avevo ben capito questo concetto .
"urbanmaths":
Sono stata imprecisa io con le convenzioni, scrivendo infatti $ (0,oo) $ io intendo l'esclusione degli estremi, perciò avendo tolto lo zero non mi spiegavo la non sommabilità.
Non sei stata imprecisa, quello che hai indicato è un intervallo aperto! il fatto è che dire che $x(t)inL^(1)(0,+infty)$ significa dire che $EE $finito$ int_(0)^(+infty) x(t) dt$, cosa non vera nel caso di $1/x^2$! La tua $finL^(1)(0,0000001;+infty)$ , ad esempio, ma zero non può essere incluso nell'intervallo di sommabilità.
E comunque , grazie di niente
Hai ragione, che scemita che ho detto !!!! Ora ho capito però.
No no invece il ringraziamento è dovuto, mi hai chiarito delle piccole cose su cui non avevo ragionato, ritenendole sciocche.
Grazie !
No no invece il ringraziamento è dovuto, mi hai chiarito delle piccole cose su cui non avevo ragionato, ritenendole sciocche.
Grazie !
"urbanmaths":
Hai ragione, che scemita che ho detto !!!! Ora ho capito però.
No no invece il ringraziamento è dovuto, mi hai chiarito delle piccole cose su cui non avevo ragionato, ritenendole sciocche.
Grazie !
Mi fa piacere! Alla prossima
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