Teoria della misura. Convergenza monotona e dominata
Buongiorno,
non so se sia giusto inserire qui l'argomento.
Comunque,
qualcuno mi saprebbe spiegare quale è la differenza tra il teorema della convergenza monotona di Beppo Levi e quello della convergenza dominata di Lebesgue?
Studiandoli mi sono sembrati molto simili, con qualche ipotesi diversa. Non riesco a capire quale sia la vera differenza.
Grazie mille!!
non so se sia giusto inserire qui l'argomento.
Comunque,
qualcuno mi saprebbe spiegare quale è la differenza tra il teorema della convergenza monotona di Beppo Levi e quello della convergenza dominata di Lebesgue?
Studiandoli mi sono sembrati molto simili, con qualche ipotesi diversa. Non riesco a capire quale sia la vera differenza.
Grazie mille!!
Risposte
Ciao, l'argomento è di analisi.
La differenza sta nelle ipotesi perché la tesi a grandi linee è la medesima (commutatività fra limite di successione ed operazione di integrazione).
Nel teorema della convergenza monotona si richiede una successione di funzioni (misurabili) crescenti che ammetta limite finito e quello che si prova è che effettivamente la successione limite è anch'essa misurabile (si può quindi scambiare limite con integrale).
Il teorema di Lebesgue invece è più raffinato e fondamentalmente assicura la stessa ipotesi ma con ipotesi più deboli: serve infatti che ogni termine della successione sia dominato da una funzione $L^1$ (ovvero integrabile). Con questa ipotesi, nel caso la successione abbia limite, tale limite è una funzione integrabile.
La differenza sta nelle ipotesi perché la tesi a grandi linee è la medesima (commutatività fra limite di successione ed operazione di integrazione).
Nel teorema della convergenza monotona si richiede una successione di funzioni (misurabili) crescenti che ammetta limite finito e quello che si prova è che effettivamente la successione limite è anch'essa misurabile (si può quindi scambiare limite con integrale).
Il teorema di Lebesgue invece è più raffinato e fondamentalmente assicura la stessa ipotesi ma con ipotesi più deboli: serve infatti che ogni termine della successione sia dominato da una funzione $L^1$ (ovvero integrabile). Con questa ipotesi, nel caso la successione abbia limite, tale limite è una funzione integrabile.
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