Teoria della misura
Mi ritrovo in questi giorni a dover fare degli esercizi in preparazione di un esame di analisi, ma mi trovo bloccato su alcuni.
Nello specifico:
Dato (X,M,m) spazio di misura, m misura positiva, $ f: X -> [ 0, oo ) $ funzione (M,R) misurabile, dove R indica la sigma algebra di Borel, f(X) contenuta nei Natural e $ int_(X) fdm < oo $ , dimostrare che:
1. $\lim_(n \rightarrow \ infty) nG(n) = 0 $
2. $ int_(X) fdm $ = $ sum_(n=0)^(\infty)G(n) $
dove $G(t) = m(f \geq t) \quad \forall t \geq 0$
**
Dato (X,M,m) spazio di misura, m misura positiva, $ f,g: X -> [ 0, oo ) $ funzioni (M,R) misurabile, dove R indica la sigma algebra di Borel, e $ int_(A) fdm = int_(A) gdm \quad \forall A \in M$ provare che :
1. Se $m(X) < \infty$ e SUP$_X f < \infty$ e SUP$_X g < \infty$ allora f=g a.e. rispetto a m
2. Stessa conclusione solo con m misura finita
3. Stessa conclusione solo con m misura sigma finita
4. Fornire un controesempio o mostrare che il punto 3 non vale se si toglie la sigma finitezza a m
Grazie mille in anticipo a chiunque voglia darmi una mano!!
Nello specifico:
Dato (X,M,m) spazio di misura, m misura positiva, $ f: X -> [ 0, oo ) $ funzione (M,R) misurabile, dove R indica la sigma algebra di Borel, f(X) contenuta nei Natural e $ int_(X) fdm < oo $ , dimostrare che:
1. $\lim_(n \rightarrow \ infty) nG(n) = 0 $
2. $ int_(X) fdm $ = $ sum_(n=0)^(\infty)G(n) $
dove $G(t) = m(f \geq t) \quad \forall t \geq 0$
**
Dato (X,M,m) spazio di misura, m misura positiva, $ f,g: X -> [ 0, oo ) $ funzioni (M,R) misurabile, dove R indica la sigma algebra di Borel, e $ int_(A) fdm = int_(A) gdm \quad \forall A \in M$ provare che :
1. Se $m(X) < \infty$ e SUP$_X f < \infty$ e SUP$_X g < \infty$ allora f=g a.e. rispetto a m
2. Stessa conclusione solo con m misura finita
3. Stessa conclusione solo con m misura sigma finita
4. Fornire un controesempio o mostrare che il punto 3 non vale se si toglie la sigma finitezza a m
Grazie mille in anticipo a chiunque voglia darmi una mano!!
Risposte
Sebbene la notazione possa essere fuorviante, m indica una misura generica, non la misura di Lebesgue
"mattia90":
Dato (X,M,m) spazio di misura, m misura positiva, $ f: X -> [ 0, oo ) $ funzione (M,R) misurabile, dove R indica la sigma algebra di Borel, f(X) contenuta nei Natural e $ int_(X) fdm < oo $ , dimostrare che:
1. $\lim_(n \rightarrow \ infty) nG(n) = 0 $
2. $ int_(X) fdm $ = $ sum_(n=0)^(\infty)G(n) $
dove $G(t) = m(f \geq t) \quad \forall t \geq 0$
Hint per il secondo punto:
\[ \int_X f dm = \int_0^{\infty} m(\{f\geq t\}) dt = \sum_{n=0}^{\infty} G(n) . \]
"Rigel":
Hint per il secondo punto:
\[ \int_X f dm = \int_0^{\infty} m(\{f\geq t\}) dt = \sum_{n=0}^{\infty} G(n) . \]
Ragionevole ed intuitivo. Troppo superficiale giustificare la prima uguaglianza dicendo che è effettivamente da definizione di integrale rispetto ad una misura?
@mattia: Le prossime volte evita di scrivere TUTTO MAIUSCOLO, per favore. Qui è considerato equivalente all'urlare. Grazie.
Comunque suggerisco questo topic per la questione \(\int f\, dm=\int_0^\infty m\{f \ge t\}\, dt:\)
interpretazione-integrale-di-lebesgue-t47163.html
interpretazione-integrale-di-lebesgue-t47163.html
Il tutto maiuscolo immagino si riferisca al titolo? ad ogni modo me ne scuso, seppure l'abbia scoperto giusto in questo momento che sia considerato urlare 
Riguardo il passaggio suggeritomi ho solo una perplessita'.
Ho trovato questo esercizio parecchio prima del teorema di Fubini, pertanto penso non sia troppo legittimo giustificare il primo passaggio in quel modo (limitatamente alla collocazione dell'esercizio, in assoluto invece d'accordissimo che il motivo sia quello)
grazie comunque dell'hint
Riguardo il passaggio suggeritomi ho solo una perplessita'.
Ho trovato questo esercizio parecchio prima del teorema di Fubini, pertanto penso non sia troppo legittimo giustificare il primo passaggio in quel modo (limitatamente alla collocazione dell'esercizio, in assoluto invece d'accordissimo che il motivo sia quello)
grazie comunque dell'hint
"mattia90":
Dato (X,M,m) spazio di misura, m misura positiva, $ f: X -> [ 0, oo ) $ funzione (M,R) misurabile, dove R indica la sigma algebra di Borel, f(X) contenuta nei Natural e $ int_(X) fdm < oo $ , dimostrare che:
1. $\lim_(n \rightarrow \ infty) nG(n) = 0 $
2. $ int_(X) fdm $ = $ sum_(n=0)^(\infty)G(n) $
dove $G(t) = m(f \geq t) \quad \forall t \geq 0$
Hint per entrambe (anche se Rigel per il secondo...):
$+infty > int_X f dm = sum_{k=0}^{infty} k m(f=k)$
"mattia90":
Ho trovato questo esercizio parecchio prima del teorema di Fubini, pertanto penso non sia troppo legittimo giustificare il primo passaggio in quel modo
Allora ti propongo quest'altro.
Posto \( a_n := m(\{f=n\}) \), hai che \( \int f = \sum_{n=0}^{\infty} n a_n \) (e questo per definizione di integrale).
D'altra parte \( G(n) = \sum_{k=n}^{\infty} a_k \), e dunque
\[
\sum_{n=0}^{\infty} G(n) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty} a_k =
\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{k-1} a_k = \sum_{k=0}^{\infty} k a_k = \int f.
\]
Qui il "teorema di Fubini" è stato usato per lo scambio delle serie; tale scambio si può però giustificare anche senza fare uso del teorema di Fubini.
@Rigel: senza polemizzare, però se gli risolvi l'esercizio a lui cosa serve.
La serie parte da $n=1$.
"mattia90":
2. $ int_(X) fdm $ = $ sum_(n=0)^(\infty)G(n) $
La serie parte da $n=1$.
@DajeForte:
Ups, hai ragione. Mi sono fatto prendere un po' la mano.
Ups, hai ragione. Mi sono fatto prendere un po' la mano.
Qualche dritta per il secondo e terzo punto del secondo esercizio?
Il primo e il quarto punto mi sono reso conto essere effettivamente banali, sugli altri due punti penso di avere una mezza idea su come procedere ma non riesco a formalizzare...
(p.s. Grazie per le dritte sul primo, al di la della risoluzione esplicita o meno ragionare sul perché dovesse essere cosi e formalizzare il tutto mi ha aiutato un po di piu a capire questi argomenti )
Il primo e il quarto punto mi sono reso conto essere effettivamente banali, sugli altri due punti penso di avere una mezza idea su come procedere ma non riesco a formalizzare...
(p.s. Grazie per le dritte sul primo, al di la della risoluzione esplicita o meno ragionare sul perché dovesse essere cosi e formalizzare il tutto mi ha aiutato un po di piu a capire questi argomenti )
Se hai fatto 2.1, a 2.2 ci puoi arrivare prendendo le troncature di $f$ e $g$.
Una volta fatto 2.2, a 2.3 ci arrivi scrivendo $X = \cup_n X_n$ con $X_n$ di misura finita; se, per ogni $n$, $f=g$ quasi ovunque su $X_n$...
Una volta fatto 2.2, a 2.3 ci arrivi scrivendo $X = \cup_n X_n$ con $X_n$ di misura finita; se, per ogni $n$, $f=g$ quasi ovunque su $X_n$...
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