Teoria della misura
Buonasera, non riesco a capire tre affermazioni della slide da cui studio teoria della misura e che vengono date come "ovvie"
Def: diremo che $ E sube X$ è misurabile se per ogni $A sube X$ si ha $ mu^**(A)>= mu^**(A nn E) + mu^**(A nn E^C)$, dove $ mu^**$ è detta misura esterna e scriveremo $E in mathcal(F)$
Ciò che non riesco a capire ( e che in alcuni punti non riesco neanche a dimostrare) è
1) $emptyset in mathcal(F)$: ovvia! io ho provato a fare cosi: $ mu^**(A)>= mu^**(A nn emptyset) + mu^**(A nn (emptyset)^C)$, cioè $ mu^**(A)>= mu^**(emptyset) + mu^**(A nn X)$ $=>$ $ mu^**(A)>= mu^**(emptyset) + mu^**(A)$, ovvero $ mu^**(A)>= mu^**(A)$ da cui la tesi.
è corretto?
2) se $ E in F$ allora $E^C in F$: anche questa viene data ovvia ma non ho capito come fare ad impostare la disequazione
3) $F$ è una $sigma_algebra$; se $E in F$, allora $mu(E)= mu*(E)$
$(X,F, mu)$ è uno spazio di misura completo, ovvero se $ G sube D$, $D in F$ e $mu(D)=0$ allora $G in F$
il testo dice: dimostriamo che se $mu*(G)=0$ allora $G$ è misurabile, da ciò segue ovviamente la completezza.
Ora la dimostrazione l'ho capita ma non ho compreso perchè ciò permetta di dire che "ovviamente" allora lo spazio $(X,F,mu)$ è completo, ovvero perchè $G in F$
magari sono domande banali ma avendo appena iniziato questo argomento mi trovo abbastanza spaesato e vorrei capire le dimostrazioni "ovvie"
Grazie
Def: diremo che $ E sube X$ è misurabile se per ogni $A sube X$ si ha $ mu^**(A)>= mu^**(A nn E) + mu^**(A nn E^C)$, dove $ mu^**$ è detta misura esterna e scriveremo $E in mathcal(F)$
Ciò che non riesco a capire ( e che in alcuni punti non riesco neanche a dimostrare) è
1) $emptyset in mathcal(F)$: ovvia! io ho provato a fare cosi: $ mu^**(A)>= mu^**(A nn emptyset) + mu^**(A nn (emptyset)^C)$, cioè $ mu^**(A)>= mu^**(emptyset) + mu^**(A nn X)$ $=>$ $ mu^**(A)>= mu^**(emptyset) + mu^**(A)$, ovvero $ mu^**(A)>= mu^**(A)$ da cui la tesi.
è corretto?
2) se $ E in F$ allora $E^C in F$: anche questa viene data ovvia ma non ho capito come fare ad impostare la disequazione
3) $F$ è una $sigma_algebra$; se $E in F$, allora $mu(E)= mu*(E)$
$(X,F, mu)$ è uno spazio di misura completo, ovvero se $ G sube D$, $D in F$ e $mu(D)=0$ allora $G in F$
il testo dice: dimostriamo che se $mu*(G)=0$ allora $G$ è misurabile, da ciò segue ovviamente la completezza.
Ora la dimostrazione l'ho capita ma non ho compreso perchè ciò permetta di dire che "ovviamente" allora lo spazio $(X,F,mu)$ è completo, ovvero perchè $G in F$
magari sono domande banali ma avendo appena iniziato questo argomento mi trovo abbastanza spaesato e vorrei capire le dimostrazioni "ovvie"
Grazie
Risposte
La 1) va bene, solo che ti sei dimenticato la $mu$ davanti a $O/$.
Per la 2): per impostare la disequazione che devi fare? Non devi fare niente, nemmeno prendere la penna in mano.
Infatti è quella che hai già, $ μ⋅(A)≥μ⋅(A∩E)+μ⋅(A∩E^c)$, osservando che la definizione è simmetrica in $E$ e $E^c$, e che $(E^c)^c$=$E$: cioè è la stessa disequazione scambiando il ruolo di $E$ e $E^c$.
Questo terzo punto non mi è molto chiaro. $sigma_algebra$ credo che sia $ sigma$-algebra in turco
.
Cerca di distinguere un po' meglio definizioni da teoremi: se $E in F$, allora $mu(E)= mu*(E)$ dovrebbe essere la definizione di misura di Lebesgue, nel secondo rigo dovrebbe esserci la definizione di spazio di misura completo, ma mi sembra che manchi qualcosa, che definizione ti hanno dato?
p.s. Non so se te lo hanno detto, la definizione di insieme misurabile che hai scritto è la misurabilità secondo Lebesgue, e la disuguaglianza $ μ⋅(A)≥μ⋅(A∩E)+μ⋅(A∩E^c)$ si chiama 'caratterizzazione di Carathéodory' e in genere viene scritta come uguaglianza (ma è la stessa cosa come disuguaglianza, per le proprietà della misura esterna), solo che come uguaglianza è più 'parlante'.
Ti dico queste cose perché sono concetti importanti, e anche sapere i nomi delle cose che si sta facendo aiuta.
Per la 2): per impostare la disequazione che devi fare? Non devi fare niente, nemmeno prendere la penna in mano.
Infatti è quella che hai già, $ μ⋅(A)≥μ⋅(A∩E)+μ⋅(A∩E^c)$, osservando che la definizione è simmetrica in $E$ e $E^c$, e che $(E^c)^c$=$E$: cioè è la stessa disequazione scambiando il ruolo di $E$ e $E^c$.
"Aletzunny":
3) $F$ è una $sigma_algebra$; se $E in F$, allora $mu(E)= mu*(E)$
$(X,F, mu)$ è uno spazio di misura completo, ovvero se $ G sube D$, $D in F$ e $mu(D)=0$ allora $G in F$
Questo terzo punto non mi è molto chiaro. $sigma_algebra$ credo che sia $ sigma$-algebra in turco
.Cerca di distinguere un po' meglio definizioni da teoremi: se $E in F$, allora $mu(E)= mu*(E)$ dovrebbe essere la definizione di misura di Lebesgue, nel secondo rigo dovrebbe esserci la definizione di spazio di misura completo, ma mi sembra che manchi qualcosa, che definizione ti hanno dato?
p.s. Non so se te lo hanno detto, la definizione di insieme misurabile che hai scritto è la misurabilità secondo Lebesgue, e la disuguaglianza $ μ⋅(A)≥μ⋅(A∩E)+μ⋅(A∩E^c)$ si chiama 'caratterizzazione di Carathéodory' e in genere viene scritta come uguaglianza (ma è la stessa cosa come disuguaglianza, per le proprietà della misura esterna), solo che come uguaglianza è più 'parlante'.
Ti dico queste cose perché sono concetti importanti, e anche sapere i nomi delle cose che si sta facendo aiuta.
Per i primi 2 punti perfetto!
La definizione di spazio completo che usa il testo è questa:
$(X,F, mu)$ è uno spazio di misura completo se $ G sube D$, $D in F$ e $mu(D)=0$ allora $G in F$
Però non riesco a capire come lo dimostri partendo da : se $mu*(G)=0$ allora $G$ è misurabile
La definizione di spazio completo che usa il testo è questa:
$(X,F, mu)$ è uno spazio di misura completo se $ G sube D$, $D in F$ e $mu(D)=0$ allora $G in F$
Però non riesco a capire come lo dimostri partendo da : se $mu*(G)=0$ allora $G$ è misurabile
"gabriella127":
La 1) va bene, solo che ti sei dimenticato la $mu$ davanti a $O/$.
Per la 2): per impostare la disequazione che devi fare? Non devi fare niente, nemmeno prendere la penna in mano.
Infatti è quella che hai già, $ μ⋅(A)≥μ⋅(A∩E)+μ⋅(A∩E^c)$, osservando che la definizione è simmetrica in $E$ e $E^c$, e che $(E^c)^c$=$E$: cioè è la stessa disequazione scambiando il ruolo di $E$ e $E^c$.
[quote="Aletzunny"]
3) $F$ è una $sigma_algebra$; se $E in F$, allora $mu(E)= mu*(E)$
$(X,F, mu)$ è uno spazio di misura completo, ovvero se $ G sube D$, $D in F$ e $mu(D)=0$ allora $G in F$
Questo terzo punto non mi è molto chiaro. $sigma_algebra$ credo che sia $ sigma$-algebra in turco
.Cerca di distinguere un po' meglio definizioni da teoremi: se $E in F$, allora $mu(E)= mu*(E)$ dovrebbe essere la definizione di misura di Lebesgue, nel secondo rigo dovrebbe esserci la definizione di spazio di misura completo, ma mi sembra che manchi qualcosa, che definizione ti hanno dato?
p.s. Non so se te lo hanno detto, la definizione di insieme misurabile che hai scritto è la misurabilità secondo Lebesgue, e la disuguaglianza $ μ⋅(A)≥μ⋅(A∩E)+μ⋅(A∩E^c)$ si chiama 'caratterizzazione di Carathéodory' e in genere viene scritta come uguaglianza (ma è la stessa cosa come disuguaglianza, per le proprietà della misura esterna), solo che come uguaglianza è più 'parlante'.
Ti dico queste cose perché sono concetti importanti, e anche sapere i nomi delle cose che si sta facendo aiuta.[/quote]
Ho ricontrollato e anche sulle dispense il prof usa questa come definizione di spazio completo!
Però da lì non riesco a dedurre la tesi
@ Aletzunny: per ottenere un asterisco e non un pallino usa **, che racchiuso tra i simboli di dollaro fornisce $**$.
"Aletzunny":
Per i primi 2 punti perfetto!
La definizione di spazio completo che usa il testo è questa:
$(X,F, mu)$ è uno spazio di misura completo se $ G sube D$, $D in F$ e $mu(D)=0$ allora $G in F$
Però non riesco a capire come lo dimostri partendo da : se $mu*(G)=0$ allora $G$ è misurabile
Scusa, Aletzunny, sulla definizione di spazio di misura completo mi trovo. Vuol dire, sostanzialmente, che si dice completa una misura il cui dominio include tutti gli insiemi di misura nulla.
Quello che non mi è chiaro, per cui ho detto che mi sembra ci manchi qualcosa, è cosa vuoi dimostrare, visto che quella è una definizione e non c'è niente da dimostrare.
Vuoi forse dimostrare che la misura di Lebesgue su $mathbb\R$ è completa? Perché stai facendo la misura di Lebesgue in $mathbb\R$, no?
Quello che posso dirti è che un sottoinsieme di un insieme di misura nulla ha misura nulla anch'esso, per monotonia, e nel caso della misura di Lebesgue sulla retta reale un insieme di misura esterna nulla è misurabile.
Non so se ho capito i tuoi dubbi, e spero che qualcuno più esperto di me riesca meglio a ricostruire il discorso dei brani di appunti che riporti, un po' troppo scarni su questa parte.
Il fatto è che studiare su delle slide non è il massimo, soprattutto in argomenti così centrali e delicati, fatti per la prima volta. Vi dovrebbero dare un libro di testo o della dispense.
p.s. se hai tempo, cerca di modificare quel puntino dopo le $mu$ in asterisco, facendo come dice gugo82, così rendi il post più leggibile, con quel puntino che si vede e non si vede ci si confonde.
Grazie mille per la risposta! Mi informo bene
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo