Teoria della misura
Avrei due affermazioni da confutare o da dimostrare sulle quali mi piacerebbe avere un aiuto.
(1) Una successione di funzioni misurabili converge puntualmente in $E$ ad una funzione $f$ $ rArr $ $E$ è misurabile.
(2) Sia $f$ misurabile e $g$ quasi ovunque uguale a $f$ $rArr$ $g$ è misurabile.
Nella seconda l'idea che ho è quella di sfruttare il fatto che $f^-1(a;+infty)$ e $g^-1(a;+infty)$ "si differenziano" per un insieme di misura nulla e quindi misurabile. per la prima non mi viene in mente nulla...
(1) Una successione di funzioni misurabili converge puntualmente in $E$ ad una funzione $f$ $ rArr $ $E$ è misurabile.
(2) Sia $f$ misurabile e $g$ quasi ovunque uguale a $f$ $rArr$ $g$ è misurabile.
Nella seconda l'idea che ho è quella di sfruttare il fatto che $f^-1(a;+infty)$ e $g^-1(a;+infty)$ "si differenziano" per un insieme di misura nulla e quindi misurabile. per la prima non mi viene in mente nulla...
Risposte
Per il secondo punto quello che dici è corretto ma chi ti dice che l'insieme "differenza" sia misurabile? Bisognerà vedere lo spazio di misura nel quale stai lavorando.
Per il primo, così come è scritto, è falso. Riesci a vedere un controesempio?
Per il primo, così come è scritto, è falso. Riesci a vedere un controesempio?
In effetti il fatto che lo spazio di misura è uno spazio generico non mi permette di affermare che gli insiemi di misura nulla sono misurabili...
Riguardo al primo potrei costruire una successione di funzioni che assumono valori positivi su un insieme misurabile e contenuto in $E$ e negativi altrove in $E$ e che sia convergente, ma non saprei come fare...
Riguardo al primo potrei costruire una successione di funzioni che assumono valori positivi su un insieme misurabile e contenuto in $E$ e negativi altrove in $E$ e che sia convergente, ma non saprei come fare...
"Pierlu11":
In effetti il fatto che lo spazio di misura è uno spazio generico non mi permette di affermare che gli insiemi di misura nulla sono misurabili...
Sni..., se gli insiemi non sono misurabili come fai a dire che hanno misura nulla. Però intendo quello che dici e direi che la questione sia proprio questa; in particolare penso che un elemento essenziale sia la completezza dello spazio misurabile.
Per il primo non capisco quello che dici, ma io avevo pensato a questo (sempre che io lo intenda correttamente perchè è un po strano il testo).
Se prendi $f_n(x)=0, \quad \forall \ n, \ x$ queste sono misurabili perchè costanti e convergono puntualmente sull'intero spazio. Dunque preso qualsiasi sottoinsieme, i suoi punti verificano la convergenza puntuale, ma chi ti dice che questo sottoinsieme sia misurabile?
Nel controesempio che hai proposto penso che le $f_n(c)$ le intendi definite in quell'insieme non misurabile, ma se così fosse $f^-1(RR)=E$. Però $E$ non deve essere misurabile... quindi mi sembra che le funzioni, anche se costanti, non sono misurabili...
Per l'altra affermazione avresti un'idea per dimostrarla?
Per l'altra affermazione avresti un'idea per dimostrarla?
$g^{-1}(B)= (g^{-1}(B) cap f=g) bigcup (g^{-1}(B) cap f !=g)= (f^{-1}(B) cap f=g) bigcup (g^{-1}(B) cap f !=g)$, B è un generico misurabile sul codominio.
Se lo spazio di misura è completo, $g^-1(B)$ è misurabile.
Per l'altro punto non capisco che scrivi. Le funzioni sono definite sullo spazio, diciamolo X. Le funzioni sono misurabili perchè costanti (la preimmagine di un sottoinsieme del codominio secondo una funzione costante è o l'intero spazio o il vuoto).
Se lo spazio di misura è completo, $g^-1(B)$ è misurabile.
Per l'altro punto non capisco che scrivi. Le funzioni sono definite sullo spazio, diciamolo X. Le funzioni sono misurabili perchè costanti (la preimmagine di un sottoinsieme del codominio secondo una funzione costante è o l'intero spazio o il vuoto).
Ma se le funzioni della successione fossero definite su tutto lo spazio $X$ sarebbe quest'ultimo l'insieme di convergenza puntuale e non $E$...
Allora non avevo capito, anche se la frase che hai scritto non è proprio chiara.
Quello che intendi è ${x: \ f_n(x) \text{ è convergente}}$ è misurabile?
Per dimostrarlo puoi scomporre quell'insieme mediante intersezioni ed unioni partendo dalle definizioni epsilon delta dei limiti
Quello che intendi è ${x: \ f_n(x) \text{ è convergente}}$ è misurabile?
Per dimostrarlo puoi scomporre quell'insieme mediante intersezioni ed unioni partendo dalle definizioni epsilon delta dei limiti
Non capisco cosa intendi...
Si ero criptico, ma tu dovresti provare a fare uno sforzo nel dimostrare o confutare quelle proposizioni.
Se vuoi un suggerimento, parti da ${x: \ f_n(x) \text{ è convergente}}={x: \ f_n(x) \text{ è di Cauchy}}= {x: \forall \varepsilon > 0 \ \exists \N : \ \forall m,n> N \implies |f_n(x)-f_m(x)|< \varepsilon}$.
Ora cerca di tradurre questo in intersezioni ed unioni.
Se vuoi una soluzione guarda qua:
http://math.stackexchange.com/questions ... ma-algebra
Se vuoi un suggerimento, parti da ${x: \ f_n(x) \text{ è convergente}}={x: \ f_n(x) \text{ è di Cauchy}}= {x: \forall \varepsilon > 0 \ \exists \N : \ \forall m,n> N \implies |f_n(x)-f_m(x)|< \varepsilon}$.
Ora cerca di tradurre questo in intersezioni ed unioni.
Se vuoi una soluzione guarda qua:
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