Teoremi sulle funzioni continue

[JackPirri]

Ciao,sto studiando i teoremi sulle funzione continue (Weierstrass,Bolzano etc.).In ognugno di questi teoremi ,strettamente correlati tra loro,si considera una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. Volevo chiedervi conferma su questo:una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato quando è continua in tutti i punti interni all'intervallo e quando nell'estremo sinistro è continua da destra ($lim x->a+ f(x)=f(a)$) e nell'estremo destro continua da sinistra.E' corretto o è sbagliato?Grazie

[Mathita]

Sì, è corretto. (Perdona la risposta secca, ma non so cos'altro aggiungere a ciò che hai detto tu.)

[anto_zoolander]

Questi intervalli chiusi e limitati hanno una proprietà molto importante: sono compatti connessi.

È questa la proprietà fondamentale che ti permette di dimostrare quasi tutti i teoremi validi sugli intervalli chiusi e limitati

[JackPirri]

Grazie ad entrambi.

[gugo82]

Beh, aspetta...

Per i teoremi che citi non è assolutamente necessario che l'insieme di definizione sia un intervallo compatto.
Infatti, per acquisire la tesi del teorema di Weierstrass basta che l'insieme di definizione sia compatto, ma che sia pure un intervallo non è necessario.
Viceversa, per ottenere la tesi del teorema di Bolzano serve che l'insieme di definizione sia un intervallo, ma che sia pure compatto non è necessario.

[otta96]

"JackPirri":una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato quando è continua in tutti i punti interni all'intervallo e quando nell'estremo sinistro è continua da destra ($lim x->a+ f(x)=f(a)$) e nell'estremo destro continua da sinistra.E' corretto o è sbagliato?

Nonostante le cose che hanno detto quelli che mi hanno preceduto siano giuste, volevo commentare più da vicino questa frase.
Quello che volevo mettere in evidenza è che non è necessario dire che "nell'estremo sinistro è continua da destra" e "nell'estremo destro continua da sinistra", è sufficiente dire che è continua anche negli estremi, in questo modo la frase che hai detto si può dire in modo molto più elegante in questo modo "una funzione è continua se e solo se è continua in ogni suo punto" (nota che questo vale in un qualsiasi dominio), che poi sarebbe la definizione di funzione continua (in analisi).