Teoremi su primitive non elementari

[Raptorista1]

Buona sera, Foro
Avrei una domanda da porvi, sono sicuro potrete aiutarmi.
Nello studio degli integrali, come ben sapete, si pone il problema di calcolare la primitiva di una funzione; non tutte le funzioni elementari, però, hanno primitiva elementare.

La mia domanda è: esistono teoremi che mi permettano di stabilire in maniera inequivocabile se una funzione ha primitiva elementare oppure no? Lo scopo di questa mia ricerca è imparare a distinguere quando sono io ad essere incapace a trovare una primitiva e quando invece tutti ne sono incapaci
Ho già dato una risposta parziale alla domanda: la mia ricerca preliminare ha condotto, tra le pagine del mitico Pagani, Salsa di Analisi 1, alla scoperta del Teorema di Liouville.

Vi risparmio la fatica di rispondermi che il Th di Liouville è un Th di Analisi complessa, quello di cui parlo è un altro teorema, che afferma che se esiste

[tex]\displaystyle \int e^{g(x)}h(x)dx[/tex]

questa ha la forma

[tex]e^{g(x)}r(x) + c[/tex]

Ho quindi cercato su altri libri altri teoremi che possano completare la questione, e qui passo la palla a voi.

Ringrazio chiunque per le risposte

[A.C.5]

con elementare intendi funzione con pochi termini?

[A.C.5]

comunque che io sappia il teorema di Liuville non dice che se ogni soluzione dell' equazione differenziale laplaciano di u = 0 che non cambia segno è una funzione costante?

[j18eos]

Quello è un altro teorema di Liouville (ammesso la corretta enunziazione)!

E se provassi a pensare al teorema di Cauchy: quale mi enunzieresti?

[Rigel1]

La questione delle primitive esprimibili elementarmente è più un problema di tipo algebrico che analitico.
Trovi qualcosa qui:
R. H. Risch, The problem of integration in finite terms, Trans. Amer. Math. Soc. 139 (1969), 167--189.
M. Rosenlicht, Integration in finite terms, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 963-972.

[Raptorista1]

@Rigel: ottimo, almeno adesso so che la questione non è alla mia portata
Grazie!