Teoremi su iniettivitá di una funzione?

[anto_zoolander]

Salve,

Volevo chiedervi se esistesse qualche teorema che affermasse quando una funzione è iniettiva. Oltre alla definizione $exists x_1,x_2inDsubseteqR, x_1nex_2|f(x_1)nef(x_2)$

Grazie in anticipo.

[Berationalgetreal]

Intanto quella non è la definizione corretta. In base ai quanto ha scritto, ogni funzione non costante sarebbe iniettiva. La definizione corretta è \[ \forall x_1,x_2 \in \mathscr{D} \subseteq \mathbb{R}, \ f(x_1) = f(x_2) \iff x_1= x_2 \]

(sostanzialmente è sbagliato il $\exists$, che va sostituito con $ \forall$.)

[@melia]

Condizione sufficiente, ma non necessaria, per l'iniettività è la monotonia:
"una funzione monotona in un intervallo è iniettiva in quell'intervallo"

[anto_zoolander]

si in effetti ho scambiato $forall$ con $exists$. Più che altro notavo questo se $f:]a,b[->R$ è continua e derivabile su $]a,b[$ allora certamente è iniettiva. Più che altro volevo sapere se ci fosse qualche teorema dietro.

[Berationalgetreal]

"anto_zoolander":si in effetti ho scambiato $forall$ con $exists$. Più che altro notavo questo se $f:]a,b[->R$ è continua e derivabile su $]a,b[$ allora certamente è iniettiva. Più che altro volevo sapere se ci fosse qualche teorema dietro.

Allora seno e coseno, definite ad esempio su $ (- 27 \pi; 85 \pi )$, sono iniettive? Sono certamente continue e derivabili in questo intervallo, ma non sono per niente iniettive

[anto_zoolander]

"Berationalgetreal":Allora seno e coseno, definite ad esempio su $ (- 27 \pi; 85 \pi )$, sono iniettive? Sono certamente continue e derivabili in questo intervallo, ma non sono per niente iniettive

Cavolo sbaglio sempre a scrivere. Allora, lo enuncio tutto:

Sia $f:]a,b[ -> R$ una funzione continua e derivabile in tutto il suo dominio. Se $f$ è strettamente monotóna su $]a,b[$ allora è iniettiva. In poche parole $A$ è condizione necessaria per $B$

Me lo sono dimostrato così:
Ragioniamo per assurdo e neghiamo che $f$ sia iniettiva su $]a,b[$ quindi stiamo dicendo che in questo intervallo valga $existsx_1,x_2in]a,b[subseteqR, x_1=x_2 <=> f(x_1)=f(x_2)$ prendiamo un sottoinsieme del nostro intervallo in cui valga proprio $f(x_1)=f(x_2)$, quindi $[x_1,x_2]subseteq]a,b[$ e $f$ per il teorema di Rolle essendo $f(x_1)=f(x_2)$ allora c'è almeno un punto in cui $f'(x)=0$, quindi $f$ non è monotóna su $[x_1,x_2]$ andando contro le ipotesi. Con questa contraddizione in poche parole ho verificato quanto scritto sopra.
Spero di non aver dimenticato nulla.