Teoremi esame AM
In questi giorni ho preparato uno schema con tutti gli enunciati, dimostrazioni, teoremi ecc...
Solo i seguenti teoremi non sono riuscito a trovare sul libro, o se li ho trovati non ero sicuro che fossero loro o non ci capivo niente.
Vi prego di aiutarmi:
1) Enunciare il teorema della permanenza del segno per le funzioni continue
2) Enunciare e dimostrare il teorema sulla regolarità delle successioni monotone
3) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale
Grazie.
Solo i seguenti teoremi non sono riuscito a trovare sul libro, o se li ho trovati non ero sicuro che fossero loro o non ci capivo niente.
Vi prego di aiutarmi:
1) Enunciare il teorema della permanenza del segno per le funzioni continue
2) Enunciare e dimostrare il teorema sulla regolarità delle successioni monotone
3) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale
Grazie.
Risposte
1) Data un funzione continua $f:A subset RR rightarrow RR$, sia $x_0 in A$ con $f(x_0)>0$ allora esiste un intorno $I$ (cioè ad esempio un intervallino aperto del tipo $(x_0-delta,x_0+delta)$) di $x_0$ : $forall x in I$ si ha che $f(x)>0$.
2) Intendi il fatto che successioni monotone o hanno limite finito o infinito? Si dimostra facilmente ma con un po' di passaggi usando niente più delle definizioni di limite, con delle belle diseguaglianze coi moduli.
3) Intendi il teorema della media? Cioè quello per cui una funzione su un intervallo assume all'interno di questo un valore tale che il rettangolo che ha per base l'intervallo e altezza quel valore ha area uguale all'integrale della funzione? Che si dimostra facilmente col teorema per cui l'immagine di un intervallo mediante un funzione continua è un intervallo, dunque assume tutti i valori intermedi compreso quello per cui il rettangolo ha area uguale all'integrale.
2) Intendi il fatto che successioni monotone o hanno limite finito o infinito? Si dimostra facilmente ma con un po' di passaggi usando niente più delle definizioni di limite, con delle belle diseguaglianze coi moduli.
3) Intendi il teorema della media? Cioè quello per cui una funzione su un intervallo assume all'interno di questo un valore tale che il rettangolo che ha per base l'intervallo e altezza quel valore ha area uguale all'integrale della funzione? Che si dimostra facilmente col teorema per cui l'immagine di un intervallo mediante un funzione continua è un intervallo, dunque assume tutti i valori intermedi compreso quello per cui il rettangolo ha area uguale all'integrale.
Penso che Smartmouse si riferisse al teorema della Media e non al teorema del valore medio per cui l'area di un integrale secondo Riemann sia compreso tra la misura non positiva di un cilindroide e la misura non negativa.
no, c'è un problema di terminologia
teorema di lagrange = teorema del valor medio
teorema che ho scritto io = teorema della media
teorema di lagrange = teorema del valor medio
teorema che ho scritto io = teorema della media
Allora, ricapitolando:
1) Data un funzione continua $f:A subset RR rightarrow RR$, sia $x_0 in A$ con $f(x_0)>0$ allora esiste un intorno $I$ (cioè ad esempio un intervallino aperto del tipo $(x_0-delta,x_0+delta)$) di $x_0$ : $forall x in I$ si ha che $f(x)>0$.
3) Una funzione su un intervallo assume all'interno di questo un valore tale che il rettangolo che ha per base l'intervallo e altezza quel valore ha area uguale all'integrale della funzione. Si dimostra facilmente col teorema per cui l'immagine di un intervallo mediante un funzione continua è un intervallo, dunque assume tutti i valori intermedi compreso quello per cui il rettangolo ha area uguale all'integrale.
Mi manca la 2
...
1) Data un funzione continua $f:A subset RR rightarrow RR$, sia $x_0 in A$ con $f(x_0)>0$ allora esiste un intorno $I$ (cioè ad esempio un intervallino aperto del tipo $(x_0-delta,x_0+delta)$) di $x_0$ : $forall x in I$ si ha che $f(x)>0$.
3) Una funzione su un intervallo assume all'interno di questo un valore tale che il rettangolo che ha per base l'intervallo e altezza quel valore ha area uguale all'integrale della funzione. Si dimostra facilmente col teorema per cui l'immagine di un intervallo mediante un funzione continua è un intervallo, dunque assume tutti i valori intermedi compreso quello per cui il rettangolo ha area uguale all'integrale.
Mi manca la 2
...
Qualcuno mi illustra il punto 2) ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo