Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange

[francicko]

Questi tre importantissimi teoremi, sembrerebbero strettamente legati tra di loro, Il teorema di Rolle sembra stare alla base della
per ottenere la dimostrazione degli altri due, il teorema di Cauchy può essere visto come una generalizzazione di lagrange, e quest'ultimo infatti lo si può ottenere come caso particolare di Cauchy, pero' se voglio dimostrare quest'ultimo devo ricorrere a Rolle, io pensavo, forse erroneamente, che usando indifferentemente, come punto di partenza uno qualsiasi dei suddetti teoremi si potevano ricavare man mano gli altri due,
che ne pensate?

[anto_zoolander]

Per dimostrare il teorema di Lagrange si richiama il teorema di Rolle. A maggior ragione andando allargandosi ancora di più.

Cioè è come se volessi dimostrare un corollario, senza il suo fulcro.
Passeresti comunque per quel teorema anche senza chiamarlo teorema di Cauchy.

[francicko]

Scusa ma per dimostrare Lagrange, non basta solo il teorema di Rolle? mi sbaglio?

[axpgn]

Date un'occhiata a questo, è un po' lungo ma forse utile ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Non condivido il parere di anto. Se la memoria non mi gioca brutti scherzi, quando studiai sul Tricomi, questo presentava direttamente l'ulteriore estensione ad una combinazione lineare di tre funzioni.
\( E(x)=\begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \end{vmatrix} \),
sotto le solite condizioni la funzione E(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, quindi esiste nell'intervallo $ (a,b) $ almeno un punto in cui la sua derivata si annulla e I teoremi di Lagrange e Cauchy ne sono dei corollari.
Ciao
B.

[anto_zoolander]

No aspe comunque sia ho confuso i nomi non volevo scrivere cauchy, ma Rolle.

[axpgn]

"ViciousGoblin":Forse non mi sono spiegato.
Quello che ho scritto significa che "supponendo vero" uno qualunque dei tre teoremi se ne ricavano gli altri due.

Entrando nello specifico direi che è immediato constatare che Cauchy implica Lagrange (prendendo $g(x)=x$) e che
Lagrange implica Rolle (se $f(b)=f(a)$ ...). La cosa meno evidente è che Rolle implica Cauchy (lo si fa costruendo la
funzione $h$ scritta in un post precedente).

Tutto quanto scritto nelle tre righe sopra NON dimostra nessuno dei tre teoremi - dice solo che basta dimostrarne uno per
averli tutti tre. Tipicamente si dimostra Rolle (ma in vari libri è diventato costume dimostrare Lagrange, per il suo
significato geometrico)