Teoremi di esistenza e unicità per problemi di cauchy
come posso applicare in un'equazione differenziae di secondo grado il teorema di esistenza e unicità? in particolare dovrei applicarla in qst caso:
y''=2y'+y
y(0)=0
y'(0)=0
y''=2y'+y
y(0)=0
y'(0)=0
Risposte
Beh è un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti, di solito il teorema si applica al caso generale per ricavare un bel po' di risultati..
In ogni caso mi pare che $f(x,y,y')=2y'+y$ sia continua su $RR^3$.
In più $|f(x,y_1,y'_1)-f(x,y_2,y'_2)|=|2(y'_1-y'_2)+(y_1-y_2)|<= sqrt(5)sqrt((y'_1-y'_2)^2+(y_1-y_2)^2) =$
$ sqrt(5) || ((y_1-y_2), (y'_1-y'_2))||$. Quindi è lipschitziana rispetto alla variabile vettoriale $(y,y')$ su $RR^3$ e quindi puoi applicare i teoremi di esistenza e unicità globale per le equazioni di ordine 1. (Si può far vedere l'equivalenza tra un problema di Cauchy, con equazione in forma normale, in cui compare un'equazione di ordine k con uno in cui è presente un'equazione vettoriale di ordine 1, penso ci sia sul tuo libro).
In ogni caso mi pare che $f(x,y,y')=2y'+y$ sia continua su $RR^3$.
In più $|f(x,y_1,y'_1)-f(x,y_2,y'_2)|=|2(y'_1-y'_2)+(y_1-y_2)|<= sqrt(5)sqrt((y'_1-y'_2)^2+(y_1-y_2)^2) =$
$ sqrt(5) || ((y_1-y_2), (y'_1-y'_2))||$. Quindi è lipschitziana rispetto alla variabile vettoriale $(y,y')$ su $RR^3$ e quindi puoi applicare i teoremi di esistenza e unicità globale per le equazioni di ordine 1. (Si può far vedere l'equivalenza tra un problema di Cauchy, con equazione in forma normale, in cui compare un'equazione di ordine k con uno in cui è presente un'equazione vettoriale di ordine 1, penso ci sia sul tuo libro).
ok grazie
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