Teoremi del valor medio
Teorema:
Sia $f:A->RR^m$ una funzione differenziabile nell'aperto $AsubRR^n$, e siano $x,y\inA$ punti tali che $[x,y]:={tx+(1-t)y\inRR^n:t\in[0,1]}subA$.
Allora per ogni $v\inRR^m$ esiste un punto $z\in[x,y]$ tale che $ = $.
(Indico con $<*,*>$ il prodotto scalare).
Dimostrazione:
Sia $gamma:[0,1]->A$, $gamma(t)=tx+(1-t)y$ una parametrizzazione del segmento $[x,y]$.
Definiamo la funzione composta $phi=$ ovvero $phi(t)=sum_{i=1}^m f_i(gamma(t))*v_i$.
Ho che $phi'(t)=d/(dt)sum_{i=1}^m f_i(gamma(t))*v_i=$
$=sum_{i=1}^m d/(dt)f_i(gamma(t))*v_i=$
$=sum_{i=1}^m*v_i=$
$=sum_{i=1}^m*v_i$
Ora voglio mostrare che quest'ultima espressione vale esattamente $$, come posso fare?
Sia $f:A->RR^m$ una funzione differenziabile nell'aperto $AsubRR^n$, e siano $x,y\inA$ punti tali che $[x,y]:={tx+(1-t)y\inRR^n:t\in[0,1]}subA$.
Allora per ogni $v\inRR^m$ esiste un punto $z\in[x,y]$ tale che $
(Indico con $<*,*>$ il prodotto scalare).
Dimostrazione:
Sia $gamma:[0,1]->A$, $gamma(t)=tx+(1-t)y$ una parametrizzazione del segmento $[x,y]$.
Definiamo la funzione composta $phi=
Ho che $phi'(t)=d/(dt)sum_{i=1}^m f_i(gamma(t))*v_i=$
$=sum_{i=1}^m d/(dt)f_i(gamma(t))*v_i=$
$=sum_{i=1}^m
$=sum_{i=1}^m
Ora voglio mostrare che quest'ultima espressione vale esattamente $
Risposte
Qualche dritta?

Prova a calcolare cosa è quel prodotto scalare (l'ultimo che hai scritto) tenendo presente che se $f$ è vettoriale, $df$ è una matrice.
$ =sum_{i=1}^m *v_i$ ma poi non saprei come continuare...
Io dicevo di scrivere cos'è $df(\gamma(t))(x-y)$ in termini di componenti.
$df(gamma(t))(x-y)=((delf_i(gamma(t)))/(delx_j))_(ij)(x-y)$
Ecco, adesso prova a fare il prodotto scalare con $v$ e vedi se riesci a riscrivere tutto come prima.
$sum_{i=1}^m sum_{j=1}^n (del(f_i(gamma(t))))/(delx_j)(x-y)_j*v_j=sum_{i=1}^m*v_i$?
Il $v_j$ devi sostituirlo con $v_i$, non ti pare? E hai ottenuto quello che volevi.
Sistemato, grazie ;
Per completezza concludo la dimostrazione.
Per il teorema di Lagrange esiste $t^*\in[0,1]$ tale che $phi(1)-phi(0)=phi'(t^*)$.
Preso $z=phi(t^*)$ si ha $phi'(t^*)=phi(1)-phi(0)= - =$
$ - = = $
Per completezza concludo la dimostrazione.
Per il teorema di Lagrange esiste $t^*\in[0,1]$ tale che $phi(1)-phi(0)=phi'(t^*)$.
Preso $z=phi(t^*)$ si ha $phi'(t^*)=phi(1)-phi(0)=
$