Teoremi da dimostrare
Ciao, volevo chiedere un aiuto sulla dimostrazione di questi 2 teoremi:
1)Un insieme($EsubeRR$ in questo caso) è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione--
In entrambi i casi: 1° $=>$ 2° e 2° $=>$ 1°
2)Sia $EsubeRR$ un insieme chiuso e limitato. Allora E ha sia minimo che massimo.
GRazie
1)Un insieme($EsubeRR$ in questo caso) è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione--
In entrambi i casi: 1° $=>$ 2° e 2° $=>$ 1°
2)Sia $EsubeRR$ un insieme chiuso e limitato. Allora E ha sia minimo che massimo.
GRazie
Risposte
Sulla domanda 2 ho una perplessità: e se l'insieme considerato non ha un ordinamento?
A dire il vero sapevo dell'esistenza del seguente teorema: sia $f:RR^n to RR$ continua in un intervallo chiuso e limitato, allora $f$ ammette massimo e minimo in tale intervallo.
Per la dimostrazione ricordo che una volta fu proposto questo quesito da dimostrare sul forum e un utente affermò che le funzioni continue preservano la compattezza tra spazi topologici (non ho idea di come si dimostri però) e che in $RR^n$ gli insiemi sono compatti se e solo se sono chiusi e limitati (teorema di Heine-Borel). Ma $RR$ è ordinato... non so se questa cosa vale anche in generale.
A dire il vero sapevo dell'esistenza del seguente teorema: sia $f:RR^n to RR$ continua in un intervallo chiuso e limitato, allora $f$ ammette massimo e minimo in tale intervallo.
Per la dimostrazione ricordo che una volta fu proposto questo quesito da dimostrare sul forum e un utente affermò che le funzioni continue preservano la compattezza tra spazi topologici (non ho idea di come si dimostri però) e che in $RR^n$ gli insiemi sono compatti se e solo se sono chiusi e limitati (teorema di Heine-Borel). Ma $RR$ è ordinato... non so se questa cosa vale anche in generale.
@Kroldar
è evidente che il problema è stato postato in modo un po' "loose" da chi deve ancora mettere il naso fuori dalla porta
chi ha postato si è dimenticato di dire che $E$ è un sottoinsieme di $RR$
oltretutto, chi ha un po' di sensibilità per le strutture matematiche rabbrividisce al pensiero di un sottoinsieme chiuso di un insieme
comunque, anche con questa aggiunta non è vero
infatti in mate ci sono anche gli insiemi vuoti che sono sia chiusi che limitati
Insomma, un sottoinsieme chiuso, limitato e non vuoto di $RR$ ha massimo e minimo.
Questa è una affermazione che può essere dimostrata.
è evidente che il problema è stato postato in modo un po' "loose" da chi deve ancora mettere il naso fuori dalla porta
chi ha postato si è dimenticato di dire che $E$ è un sottoinsieme di $RR$
oltretutto, chi ha un po' di sensibilità per le strutture matematiche rabbrividisce al pensiero di un sottoinsieme chiuso di un insieme
comunque, anche con questa aggiunta non è vero
infatti in mate ci sono anche gli insiemi vuoti che sono sia chiusi che limitati
Insomma, un sottoinsieme chiuso, limitato e non vuoto di $RR$ ha massimo e minimo.
Questa è una affermazione che può essere dimostrata.
"Fioravante Patrone":
@Kroldar
è evidente che il problema è stato postato in modo un po' "loose" da chi deve ancora mettere il naso fuori dalla porta
chi ha postato si è dimenticato di dire che $E$ è un sottoinsieme di $RR$
oltretutto, chi ha un po' di sensibilità per le strutture matematiche rabbrividisce al pensiero di un sottoinsieme chiuso di un insieme
comunque, anche con questa aggiunta non è vero
infatti in mate ci sono anche gli insiemi vuoti che sono sia chiusi che limitati
Insomma, un sottoinsieme chiuso, limitato e non vuoto di $RR$ ha massimo e minimo.
Questa è una affermazione che può essere dimostrata.
Si, diciamo che in termini più rigorosi è questa...
@dust
scusa per il tono, ma è che una strigliata al giorno leva il medico di torno
scusa per il tono, ma è che una strigliata al giorno leva il medico di torno
Dust, allora per il quesito 1 siamo ancora in $RR$? Oppure si richiede di dimostrarlo per qualunque spazio topologico?
Comunque sia, i punti di accumulazione sono anche punti aderenti per un insieme. Ricordo che di recente se ne discusse sul forum... in questa pagina
"Fioravante Patrone":
@dust
scusa per il tono, ma è che una strigliata al giorno leva il medico di torno
Non preoccuparti, anzi, è meglio ke io noti ora le mie lacune(anke nel linguaggio) piuttosto ke le noti durante l'esame...
"Kroldar":
Dust, allora per il quesito 1 siamo ancora in $RR$? Oppure si richiede di dimostrarlo per qualunque spazio topologico?
Siamo in $RR$
"Kroldar":
Comunque sia, i punti di accumulazione sono anche punti aderenti per un insieme. Ricordo che di recente se ne discusse sul forum... in questa pagina
Intanto do un occhiata qua!
Ho provato a leggermi la pag postata ma sono cose + complicate d ciò ke mi serve.. il fatto è ke la mia preparazione da ITIS nn ha giovato affatto finora allo svolgimento delle dimostrazioni... l'anno scorso abbiamo fatto maree d esercizi x ogni argomento ma dimostrazioni pokissime e solo superficialmente.. mentre quest'anno all'uni è molto diverso... X(
l'unico suggerimento serio che mi sento di darti è il seguente
le 2 domande che facevi riguardano due teoremi che dovrebbero essere dimostrati sul tuo libro
se non sono dimostrati, cerca in biblio un libro di analisi 1 o similari dove ci sia la dimostrazione
se poi trovi qualche passaggio che non ti torna, posta e ne discutiamo
le 2 domande che facevi riguardano due teoremi che dovrebbero essere dimostrati sul tuo libro
se non sono dimostrati, cerca in biblio un libro di analisi 1 o similari dove ci sia la dimostrazione
se poi trovi qualche passaggio che non ti torna, posta e ne discutiamo
Non preoccuparti... visto che si tratta di lavorare in $RR$ dimentica pure (almeno per ora) quella discussione che ti ho segnalato. Comunque sappi che quella cosa che ti è stato chiesto di dimostrare in $RR$ si può generalizzare.
"Fioravante Patrone":
l'unico suggerimento serio che mi sento di darti è il seguente
le 2 domande che facevi riguardano due teoremi che dovrebbero essere dimostrati sul tuo libro
se non sono dimostrati, cerca in biblio un libro di analisi 1 o similari dove ci sia la dimostrazione
se poi trovi qualche passaggio che non ti torna, posta e ne discutiamo
è quello ke farò.. poi vi dirò! ciao
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