Teorema (wronskiano)

[Pasticcio4]

Ciao.
Ho un po'di confusione con il significato di questo teorema.
Potete darmi una mano spiegandomi cosa significa, e magari dandomi la dimostrazione?
Il teorema è questo: se il wronskiano si annulla in un punto allora esso si annulla identicamente e le soluzioni sono linearmente dipendenti. Viceversa se le soluzioni sono linearmente dipendenti allora il wronskiano si annulla.

[gugo82]

Cosa non ti è chiaro dalla dimostrazione proposta a lezione o sul tuo testo di Analisi?

[Pasticcio4]

Non mi è chiara la prima parte in cui dice che il wronskiano si annulla identicamente. Se si annulla in un punto, vuol dire $ W (t)= det[ ( x1 (t) , x2 (t) ),( x'1 (t) , x'2 (t) ) ] = x1 (t)x'2 (t)-x'1 (t)x2 (t)=0 $
quindi $ x1 (t)x'2 (t)=x2 (t)x'1 (t) $
A questo punto nella dimostrazione dice: se il wronskiano si annulla allora esistono 2 costanti a,b di cui almeno una non nulla tale che $ ax1 (t)+bx2 (t)=0 $ e $ ax'1 (t)+bx'2 (t)=0 $
come faccio a dire da questo punto che il wronskiano si annulla identicamente? E perché posso dire subito che esistono le costanti a,b?

[gugo82]

Di solito col nome Teorema del Wronskiano si individua il seguente risultato:

Siano \(x^{\prime \prime} (t) + a_1(t) x^\prime (t) + a_0(t) x(t)=0\) una EDO lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti continui in un intervallo $I$, $x_1,x_2:I\to \RR$ due soluzioni della EDO e $W(t) = x_1(t)x_2^\prime (t) - x_2(t)x_1^\prime (t)$ il wronskiano di $x_1$ ed $x_2$.

I seguenti fatti sono equivalenti:

[list=a][*:83co9v5u] $x_1$ ed $x_2$ sono linearmente indipendenti[nota]Il che significa che non esistono costanti $\alpha,\beta \in \RR$ tali che \(\alpha^2 + \beta^2>0\) ed \(\alpha x_1 (t) + \beta x_2(t)=0\) in $I$.[/nota];

[/*:m:83co9v5u]
[*:83co9v5u] per ogni $t\in I$ risulta $W(t) \ne 0$;

[/*:m:83co9v5u]
[*:83co9v5u] esiste un $t_0\in I$ tale che $W(t_0) \ne 0$.[/*:m:83co9v5u][/list:o:83co9v5u]

La dimostrazione funziona pressoché come segue:

Le implicazioni a $\Rightarrow$ b $\Rightarrow$ c sono immediate; in particolare, l'implicazione a $\Rightarrow$ b segue da noti fatti di Algebra Lineare.
Quindi basta dimostrare che valgono le implicazioni inverse, cioè c $\Rightarrow$ b $\Rightarrow$ a.

Cominciamo a provare che c $\Rightarrow$ b.
La dimostrazione di questo fatto si basa su un'osservazione (dovuta a Liouville), ossia la seguente:

Il wronskiano $W(t)$ è soluzione di una EDO lineare omogenea del primo ordine a coefficienti continui.

Per dimostrare questo fatto ragioniamo come segue.
Dalla formula del calcolo del determinante segue l'uguaglianza:
\[
W^\prime (t) = \begin{vmatrix} x_1 (t) & x_2 (t) \\ x_1^{\prime \prime} (t) & x_2^{\prime \prime} (t)\end{vmatrix}
\]
e dalla EDO viene che possiamo rimpiazzare la seconda riga con:
\[
W^\prime (t) = \begin{vmatrix} x_1 (t) & x_2 (t) \\ - a_1(t)x_1^\prime (t) -a_0(t) x_1(t) & -a_1(t) x_2^\prime (t) - a_0(t) x_0(t)\end{vmatrix} \; .
\]
Ora, per proprietà elementari del determinante, abbiamo:
\[
\begin{split}
W^\prime (t) &= -a_1(t)\ \begin{vmatrix} x_1 (t) & x_2 (t) \\ x_1^\prime (t) & x_2^\prime (t) \end{vmatrix} - a_0(t)\ \begin{vmatrix} x_1 (t) & x_2 (t) \\ x_1(t) & x_2(t)\end{vmatrix}\\
&= - a_1(t) W(t)\; ,
\end{split}
\]
cioè $W$ risolve la EDO lineare omogenea del primo ordine:
\[
W^\prime (t) + a_1(t)\ W(t)=0\; .
\]
Ciò, unito al Teorema di Esistenza ed Unicità, implica che se $W(t_0)=0$, allora $W(t)=0$ ovunque: infatti, in tal caso $W$ sarebbe la soluzione del PdC:
\[
\begin{cases}
W^\prime (t) + a_1(t)\ W(t)=0\\
W(t_0) =0
\end{cases}
\]
il quale ha la unicamente la soluzione identicamente nulla.

Dimostriamo, infine, che b $\Rightarrow$ a.
Per assurdo, supponiamo che $x_1$ ed $x_2$ siano linearmente dipendenti, ossia che esistano due costanti $\alpha, \beta \in \RR$ tali che $\alpha^2 + \beta^2 >0$ e che $\alpha x_1 (t) + \beta x_2(t) =0$ identicamente in $I$.
Allora avremmo pure \(\alpha x_1^\prime (t) +\beta x_2^\prime (t) =0\) identicamente in $I$ e dunque, per ogni fissato $t\in I$, il sistema lineare omogeneo nelle incognite $a$ e $b$:
\[
\begin{cases}
x_1(t)\ a + x_2(t)\ b = 0\\
x_1^\prime (t)\ a + x_2^\prime (t)\ b = 0\
\end{cases}
\]
avrebbe la soluzione $a=\alpha, b=\beta$ non nulla; per noti fatti di Algebra Lineare ciò accade se e solo se il determinante dei coefficienti del sistema è nullo, cioè se e solo se $W(t)=0$. Ma ciò è assurdo, perché l'ipotesi b garantisce $W(t)\neq 0$ identicamente in $I$.