Teorema Weierstrass I (Dubbi)

[nunziox]

Non sono molto convinto del mio ragionamento.

Si vuole dimostrare che le funzioni continue mandano compatti in compatti

Supponendo:

$K sube R^n $ compatto
ed $f:K->R$ una funzione continua.

Tesi:

$f(k)$ è un compatto.

dim:

Visto che la funzione è continua sicuramente posso prendere in considerazione la successione $y_j in f(k)$ ed $x_j in K$ entrambe convergenti.

è quindi

$f(x_j)=y_j$

dato che la funzione è definita in un insieme compatto per il teorema di Heine Borel questo insieme è anche chiuso e limitato.
Quindi per il lemma di compattezza la successione $x_(k_j)->x_0$

per la continuità

$y_(k_j)=f(x_(k_j))->f(x_0)$

ho dimostrato che esiste un estratta di $y_j:$ $y_(k_j)->f(x_0) $

ed essendo $y_(k_j),f(x_0) in f(k)$
$f(k)$ rispetta la definizione di compatto quindi è un compatto.

il ragionamento è corretto?

[dissonance]

"nunziox":Non sono molto convinto del mio ragionamento.

Si vuole dimostrare che le funzioni continue mandano compatti in compatti

Supponendo:

$K sube R^n $ compatto
ed $f:K->R$ una funzione continua.

Tesi:

$f(k)$ è un compatto.

dim:

Visto che la funzione è continua sicuramente posso prendere in considerazione la successione $y_j in f(k)$ ed $x_j in K$ entrambe convergenti.

Già qua è sbagliato. Cerca di essere più preciso, sei sciatto nel linguaggio e questo ti porta a sbagliare anche sulle cose facili. Scrivi bene la tesi:

ogni successione \((y_j)\) in \(f(K)\) ha una estratta convergente ad un elemento di \(f(K)\).

Ora il primo passaggio: hai preso una successione \(y_j\) e giustamente vuoi ricondurti ad una successione \(x_j\) tale che \(f(x_j)=y_j\). Siccome \(y_j \in f(K)\) per tutti gli indici \(j\) esiste certamente una tale \((x_j)\), per definizione.

Ora tu dici che \(x_j\) è necessariamente convergente. Falso. Controesempio: \(f(x)=x^2, \lvert x \rvert \le 2\), \(y_j=1, x_j=(-1)^j\).

[nunziox]

ah ok...Non è necessariamente convergente

però posso ugualmente affermare visto che $y_j in f(K)$ che $EE x_j in K : y_j=f(x_j)$

a questo punto effettuate queste correzioni, quello che ho scritto dopo va bene?

[dissonance]

Senti, il senso è quello. Però non è detto molto bene. Se ne hai il tempo, riformulalo cercando di essere più preciso.

[nunziox]

Ti ringrazio e che mi sa che il prof a lezione non è stato nemmeno tanto rigoroso, la tesi l'ha data come l'ho scritta io, boh forse perché si rivolge ad un pubblico di ingegneri e non di matematici quindi è meno rigoroso... cmq proverò a scriverlo meglio per quello che posso riuscire a fare io