Teorema v.i per le derivate

[brownbetty1]

Salve a tutti,

devo dimostrare il seguente teorema:

Sia $f:]a,b[->R$ una funzione derivabile. Siano $x_1$, $x_2$ due punti di $]a,b[$ con $x1$ $<$ $x2$. Se $Df(x_1)$$<$$Df(x_2)$ allora per ogni $k$ appartenente a $]Df(x_1), Df(x_2)[$ esiste almeno un punto $c$ appartenente a $]x_1, x_2[$ tale che $Df(c) = k$

La mia dimostrazione consiste nel suppore una funzione $g(x) = f(x) - kx$ definita in $[x1,x2]$. Poi si distinguono 2 casi: se $g(x_1) = g(x_2)$ la tesi segue dal Teorema di Rolle (e questa parte l'ho capita). Ora passiamo alla parte oscura :

Sia $g(x_1) != g(x_2)$, per esempio $g(x_1)$ $<$ $g(x_2)$. Siccome $Dg(x_1)< 0$ la funzione $g(x)$ risulta decrescente in un intorno di $x_1$. Sia $x_3$ in $]x1, x2[$ tale che $g(x_3)$ $<$ $g(x_1)$. La funzione $g(x)$ è continua perché derivabile e quindi, per il Teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto $x_4$ in $]x_3, x_2[$ nel quale la funzione assume nuovamente il valore $g(x_1)$ e la tesi segue nuovamente dal Teorema di Rolle.

le parti blu sono quelle con i dubbi, cioè quelle per cui non mi capacito Purtroppo non ho trovato in giro una dimostrazione di questo teorema.

Grazie anticipatamente

[ciampax]

Per prima cosa: la tesi mi pare sia $Df(c)=k$ o sbaglio?
Per quanto riguarda i dubbi: visto che $k\in(Df(x_1),Df(x_2))$ allora $Dg(x_1)=Df(x_1)-k<0$
Il secondo non ho capito che problemi ti crea.
Infine per il terzo, sai cosa dice il Teorema dei valori intermedi? La conclusione risulta immediata.

P.S.: 30 post e ancora non usi il codice? Ahiahiahiahiahi!

[ViciousGoblin]

"brownbetty":Salve a tutti,

devo dimostrare il seguente teorema:

Sia f:]a,b[->R una funzione derivabile. Siano x1,x2 due punti di ]a,b[ con x1
La mia dimostrazione consiste nel suppore una funzione g(x) = f(x) - kx definita in [x1,x2]. Poi si distinguono 2 casi: se g(x1) = g(x2) la tesi segue dal Teorema di Rolle (e questa parte l'ho capita). Ora passiamo alla parte oscura :

Sia g(x1) != g(x2), per esempio g(x1) < g(x2). Siccome Dg(x1)<0 la funzione g(x) risulta decrescente in un intorno di x1. Sia x3 in ]x1, x2[ tale che g(x3) < g(x1). La funzione g è continua perché derivabile e quindi, per il Teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto x4 in ]x3, x2[ nel quale la funzione assume nuovamente il valore g(x1) e la tesi segue nuovamente dal Teorema di Rolle.

le parti blu sono quelle con i dubbi, cioè quelle per cui non mi capacito Purtroppo non ho trovato in giro una dimostrazione di questo teorema (ho capito che è un adattamento alle derivate del vero teorema di Darboux).

Grazie anticipatamente

Aggiungo qualche dettaglio a ciò che ha detto ciampax

1) il fatto che $g'(x_1)<0$ non implica che $g$ è decrescente in un intorno di $x_0$ - non è una cosa immediatamente evidente ma un controesempio è $g(x)=-x+x^2sin(1/x)$. Però è vero che da $g'(x_1)<0$ segue che $\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}<0$ per $x$ in un intorno di $x_1$ (permanenza del segno) da cui trovi un $x=x_3>x_1$ in cui $g(x_3)
2) Dato che $g(x_3)x_2$ e $g(x_4)=g(x_1)$. Applicando Rolle ...

[ciampax]

Vicious, non vorrei sbagliare, ma dal momento che $g$ è derivabile sull'aperto (lo è $f$) allora $g'$ è continua, per cui se $g'(x_1)<0$ per la permanenza del segno esiste un intorno $I$ di $x_1$ dove $g'(x)<0,\ x\in I$ e quindi la funzione è strettamente decrescente su tale intorno. Non trovi?

[Rigel1]

"ciampax":dal momento che $g$ è derivabile sull'aperto (lo è $f$) allora $g'$ è continua

Questo non è necessariamente vero: se prendi l'esempio di VG (con \(g(0)=0\)), hai che \(g\) è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), ma la sua derivata non è continua.

[brownbetty1]

Ringrazio tutti (ma proprio tutti) per l'aiuto, sono riuscito a dimostrarlo ! Aggiungo soltanto che prima di questo teorema abbiamo dimostrato i soliti due criteri di caratterizzazione della monotonia con le derivate (quello normale e quello per la stretta), quindi "mea culpa" (era tardi quando ho scritto il messaggio ) riguardo a questo:

"ciampax":Vicious, non vorrei sbagliare, ma dal momento che g è derivabile sull'aperto (lo è f) allora g′ è continua, per cui se g′(x1)<0 per la permanenza del segno esiste un intorno I di x1 dove g′(x)<0, x∈I e quindi la funzione è strettamente decrescente su tale intorno. Non trovi?

Vi ringrazio di nuovo, alla prossima