Teorema unicità del limite?
Salve ragazzi, ho molte difficoltà nel capire il suddetto teorema.
Qualcuno di voi potrebbe farmi una dimostrazione, che sia per assurdo? Ovvero $L1!=L2$?
Qualcuno di voi potrebbe farmi una dimostrazione, che sia per assurdo? Ovvero $L1!=L2$?
Risposte
Che cosa in particolare non ti è chiaro della dimostrazione? Hai già dato un'occhiata a quella degli appunti di matematicamente? Adesso te la cerco...
Ecco, qui trovi una dimostrazione.
Se invece tu ne conosci un'altra, perchè non ce la scrivi e ci dici dove ti blocchi?
Se invece tu ne conosci un'altra, perchè non ce la scrivi e ci dici dove ti blocchi?
In breve puoi dire che se $L_1 != L_2$, allora esistono due intorni disgiunti di $L_1$ e $L_2$.
Poichè ognuno dei due è limite, in entrambi gli intorni finiranno definitivamente i termini della funzione, assurdo perchè i due intorni sono disgiunti.
Poichè ognuno dei due è limite, in entrambi gli intorni finiranno definitivamente i termini della funzione, assurdo perchè i due intorni sono disgiunti.
"visind":
Salve ragazzi, ho molte difficoltà nel capire il suddetto teorema.
Qualcuno di voi potrebbe farmi una dimostrazione, che sia per assurdo? Ovvero $L1!=L2$?
Puoi vederlo come una semplice conseguenza della proprietà archimedea dei numeri reali:
se $\eta$ è un numero reale tale che $|\eta|<\epsilon$ per ogni $\epsilon>0$, allora $\eta=0$.
Per ipotesi abbiamo:
1) $\lim_{x \to x_0}f(x)=L1$ e quindi $|f(x)-L1|<\epsilon/2$ per ogni $\epsilon>0$, purché $0<|x-x_0|<\delta_(1)$
2) $\lim_{x \to x_0}f(x)=L2$ e quindi $|f(x)-L2|<\epsilon/2$ per ogni $\epsilon>0$, purché $0<|x-x_0|<\delta_(2)$
3)$L1!=L2
Poni $\delta=max{\delta_(1),\delta_(2)}$
Dunque $|L1-L2|<=|f(x)-L1|+|f(x)-L2|<\epsilon$ per ogni $\epsilon>0$, purché $0<|x-x_0|<\delta$: assurdo.
(sottolineato mio)
Sono d'accordo sulla sostanza della dimostrazione ma non sulla forma: io leggo l'affermazione dopo "e quindi" come equivalente a:
$\forall x\inRR\ 0<|x-x_0|
Forse sarebbe meglio fissare $epsilon$ prima del punto 1) oppure specificare esplicitamente la dipendenza di $delta_1$ da $epsilon$ (con qualcosa tipo $delta_1(epsilon)$). Io fisserei $epsilon$ al principio, comunque.
"Sidereus":
1) $\lim_{x \to x_0}f(x)=L1$ e quindi $|f(x)-L1|<\epsilon/2$ per ogni $\epsilon>0$, purché $0<|x-x_0|<\delta_(1)$
Sono d'accordo sulla sostanza della dimostrazione ma non sulla forma: io leggo l'affermazione dopo "e quindi" come equivalente a:
$\forall x\inRR\ 0<|x-x_0|
Forse sarebbe meglio fissare $epsilon$ prima del punto 1) oppure specificare esplicitamente la dipendenza di $delta_1$ da $epsilon$ (con qualcosa tipo $delta_1(epsilon)$). Io fisserei $epsilon$ al principio, comunque.
Perdonami, ma non ho capito la tua obiezione. Perché $f(x)=L1$?
"Sidereus":
1) $\lim_{x \to x_0}f(x)=L1$ e quindi $|f(x)-L1|<\epsilon/2$ per ogni $\epsilon>0$, purché $0<|x-x_0|<\delta_(1)$
Traduzione:
$(\lim_{x \to x_0}f(x)=L1) \Rightarrow [( 0<|x-x_0|<\delta_(1) ) \Rightarrow ( |f(x)-L1|<\epsilon/2 \quad \forall \epsilon>0)]$
A parte che le variabili $x$ e $delta_1$ sono lasciate libere nell'espressione mentre dovrebbero essere "quantificata" (è ovvio che si sottintende "per ogni" $x$; mi pare legittimo presumere che tu intendessi che "esiste" $\delta_1$ e comunque ai fini di comprendere l'obiezione di dissonance questo non è rilevante), viste le ipotesi si deduce che:
$[( 0<|x-x_0|<\delta_(1) ) \Rightarrow ( |f(x)-L1|<\epsilon/2 \quad \forall \epsilon>0)]$
Ma $( |f(x)-L1|<\epsilon/2 \quad \forall \epsilon>0 )$ ci dice (per la proprietà archimedea dei numeri reali...) per l'appunto che $f(x) = L_1$ e pertanto ciò vale purché $0<|x-x_0|<\delta_(1) $.
Ovvero, come notato da dissonance, che la $f$ è identicamente uguale a $L_1$ in un intorno ("bucato") di $x_0$.
Vi ringrazio tutti, alla fine qualcosa l'ho capito dai miei stessi appunti. Tengo a precisare..."qualcosa".
Sostanzialmente noi vogliamo dimostrare l'unicità del limite negando la tesi, a tal proposito avrei qualche domanda da chiedervi.
Leggo sui miei appunti:
$u=max{N_epsilon, M_epsilon}$ , $n>u$ valgono entrambe.
Ma in pratica il massimo corrisponde a $M_epsilon$ ?
Poi
alla fine della dimostrazione risulta $|L1-L2|<2epsilon$, ciò è possibile solo quando $L1=L2$.
Allora mi chiedo come mai? Perchè $2epsilon$ è una quantità prossima allo $0$?
Di nuovo grazie a tutti!
Sostanzialmente noi vogliamo dimostrare l'unicità del limite negando la tesi, a tal proposito avrei qualche domanda da chiedervi.
Leggo sui miei appunti:
$u=max{N_epsilon, M_epsilon}$ , $n>u$ valgono entrambe.
Ma in pratica il massimo corrisponde a $M_epsilon$ ?
Poi
alla fine della dimostrazione risulta $|L1-L2|<2epsilon$, ciò è possibile solo quando $L1=L2$.
Allora mi chiedo come mai? Perchè $2epsilon$ è una quantità prossima allo $0$?
Di nuovo grazie a tutti!
"Fioravante Patrone":
[quote="Sidereus"]
1) $\lim_{x \to x_0}f(x)=L1$ e quindi $|f(x)-L1|<\epsilon/2$ per ogni $\epsilon>0$, purché $0<|x-x_0|<\delta_(1)$
Traduzione:
$(\lim_{x \to x_0}f(x)=L1) \Rightarrow [( 0<|x-x_0|<\delta_(1) ) \Rightarrow ( |f(x)-L1|<\epsilon/2 \quad \forall \epsilon>0)]$ [/quote]
Sì, così l'obiezione si capisce bene .
Naturalmente nella mia testa c'era la normale definizione di limite:
$(\lim_{x \to x_0}f(x)=L1)$ $hArr$ $(AA\epsilon>0$ $EE\delta_(1)(\epsilon,x_(0))$ tale che $|f(x)-L1|<\epsilon/2$ $\forall x in I(x_0,\delta_(1))-{x_(0)})$
ma effettivamente quello che ho scritto ieri non corrisponde all'idea
"visind":
...
alla fine della dimostrazione risulta $|L1-L2|<2epsilon$, ciò è possibile solo quando $L1=L2$.
Allora mi chiedo come mai?
Sei sicuro di aver compreso bene il senso dell'assioma archimedeo?
"visind":
alla fine della dimostrazione risulta $|L1-L2|<2epsilon$, ciò è possibile solo quando $L1=L2$.
Allora mi chiedo come mai? Perchè $2epsilon$ è una quantità prossima allo $0$?
Più che altro, perchè $epsilon$ è fissato arbitrariamente in $]0,+oo[$.
Insomma, la tua dimostrazione consiste nello sabarazzarti degli $a_n$ in modo da arrivare a dire che:
$AA epsilon >0,\ 0<=|L_1-L_2|<2epsilon$;
ciò significa che il numero non negativo $1/2|L_1-L_2|$ è più piccolo di ogni numero positivo, ossia che esso è $<=0$; quindi è $0<=1/2|L_1-L_2|<=0$, ossia $|L_1-L_2|=0$ ed infine $L_1=L_2$.
Dunque, ci sbarazziamo degli $an$, e fin qui ci siamo
Ma come può essere $1/2|L1-L2|$ più piccolo di ogni numero positivo? Se $epsilon$ è fissato arbitrariamente in $(0,+oo)$ ? E quindi può essere una quantità grande?
Ma come può essere $1/2|L1-L2|$ più piccolo di ogni numero positivo? Se $epsilon$ è fissato arbitrariamente in $(0,+oo)$ ? E quindi può essere una quantità grande?
... perché si considera solo i numeri positivi e lo $0$ è l'unico numero minore di tutti i numeri $ \in (0,+\infty )$.
"visind":
Dunque, ci sbarazziamo degli $an$, e fin qui ci siamo
Ma come può essere $1/2|L1-L2|$ più piccolo di ogni numero positivo? Se $epsilon$ è fissato arbitrariamente in $(0,+oo)$ ? E quindi può essere una quantità grande?
Certo che $epsilon$ può essere scelto grande, ma il punto non è questo.
Tu hai provato che $1/2 |L_1-L_2|$ è più piccolo di tutti i numeri positivi, non di qualche numero positivo particolare.
ciaoo, scusatemi ragazzi ma nn riesco a capire la dimostrazione per assurdo di questo teorema utilizzando la disugualianza triangolare, ponendo $e =|a-b|/2$
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